Équation quadratique par substitution

Saisissez les trois coefficients et indiquez si u représente x au carré ou la racine carrée principale de x. L’outil calcule les racines après substitution, applique la contrainte de domaine requise, puis revient à x pour fournir toutes les solutions réelles. Il affiche également le discriminant et une suite concise d’étapes, pratique pour vérifier un exercice, préparer un exemple ou valider une méthode algébrique.

Repérez un trinôme caché dans une autre expression

Une équation est quadratique par sa forme lorsque la même expression apparaît une fois au premier degré et une fois au carré. Par exemple, l’équation bicarrée x puissance quatre moins cinq x au carré plus quatre égale zéro contient x² et son carré x⁴. En posant u = x², elle devient u² − 5u + 4 = 0. Le même motif se présente avec les radicaux : si une équation contient x et √x, x est le carré de cette racine ; poser u = √x produit donc un trinôme ordinaire. Le solveur reçoit a, b et c selon le modèle transformé au² + bu + c = 0. Sélectionnez la substitution correspondant à l’expression initiale. Cette séparation distingue clairement le calcul du second degré de l’étude du domaine et du retour à la variable x, étapes où des solutions sont souvent oubliées ou ajoutées à tort.

Résolvez en u, puis imposez son domaine

Après la substitution, le solveur calcule le discriminant b² − 4ac. S’il est négatif, il n’existe aucune valeur réelle de u, donc aucune valeur réelle de x pour les formes proposées. Un discriminant nul fournit une racine double en u, tandis qu’un discriminant positif fournit deux candidates. Elles ne sont pas forcément admissibles. Les deux substitutions imposent u ≥ 0 : le carré d’un réel ne peut pas être négatif et la racine carrée principale ne l’est jamais non plus. Toutes les racines figurent donc dans u_solutions, tandis que celles qui respectent le domaine sont isolées dans admissible_u_solutions. Une candidate rejetée reste ainsi visible. Le calcul emploie une forme numériquement stable de la formule quadratique afin de limiter les pertes de précision. Les coefficients doivent être des réels finis et a doit être non nul, sinon l’équation transformée serait linéaire.

Revenez à x sans perdre ni inventer de racines

Le retour à la variable dépend du sens de u. Lorsque u = x², chaque valeur positive admissible de u donne deux réponses réelles : la racine positive et la racine négative. Si u = 0, seule la solution x = 0 existe, et non deux copies distinctes. Une équation de degré quatre peut donc compter quatre, deux, une ou aucune solution réelle distincte, même si le trinôme substitué n’a jamais plus de deux racines. Lorsque u = √x, résoudre √x = u donne x = u². Chaque u admissible fournit un seul x, car le radical désigne la racine principale non négative. L’outil trie les valeurs, supprime les doublons et renvoie solution_count. Vérifiez toujours que la substitution choisie correspond à la structure de départ. Le solveur n’analyse pas une notation algébrique libre et ne déduit pas les coefficients d’une équation saisie. En automatisation, chaque résultat déterministe coûte $0.002.