Ecuaciones cuadráticas por sustitución

Introduzca los tres coeficientes e indique si u representa x al cuadrado o la raíz cuadrada principal de x. La herramienta calcula las raíces sustituidas, aplica la restricción de dominio correspondiente y deshace la sustitución para obtener todos los valores reales de x. También muestra el discriminante y una secuencia breve de pasos, útil para revisar ejercicios, preparar ejemplos o validar un procedimiento algebraico.

Reconozca una cuadrática oculta en otra expresión

Una ecuación es cuadrática en forma cuando la misma expresión aparece una vez elevada a la primera potencia y otra vez al cuadrado. Por ejemplo, una ecuación bicuadrada como x a la cuarta menos cinco x al cuadrado más cuatro igual a cero contiene x² y su cuadrado, x⁴. Si establece u = x², se transforma en u² − 5u + 4 = 0. El mismo patrón aparece con radicales: cuando una ecuación contiene x y √x, x es el cuadrado de esa raíz, por lo que u = √x produce una cuadrática ordinaria. El solucionador recibe a, b y c según el patrón transformado au² + bu + c = 0. Seleccione la sustitución que corresponda a la expresión original. Así, el cálculo cuadrático queda separado del análisis del dominio y de la sustitución inversa, donde suelen omitirse o añadirse soluciones por error.

Resuelva para u y aplique después su dominio

Tras la sustitución, la herramienta calcula el discriminante b² − 4ac. Si es negativo, no existen valores reales de u y, por tanto, tampoco valores reales de x para las formas admitidas. Un discriminante nulo produce una raíz repetida de u; uno positivo produce dos candidatas. Sin embargo, esas candidatas no son válidas automáticamente. Las dos sustituciones disponibles exigen u ≥ 0: un cuadrado real no puede ser negativo y la raíz cuadrada principal tampoco. Por eso se muestran todas las raíces en u_solutions y, por separado, las que superan el filtro en admissible_u_solutions. Una candidata descartada queda visible. El cálculo emplea una versión numéricamente estable de la fórmula cuadrática para reducir cancelaciones evitables. Los coeficientes deben ser números reales finitos y a no puede ser cero, pues en ese caso la ecuación transformada sería lineal.

Deshaga la sustitución sin perder ni inventar raíces

La sustitución inversa depende del significado de u. Si u = x², cada u positiva admisible genera dos respuestas reales: la raíz positiva y la negativa. Cuando u = 0, solo aparece x = 0, no dos copias distintas. Por ello, una ecuación de cuarto grado puede tener cuatro, dos, una o ninguna solución real distinta, aunque la cuadrática sustituida tenga como máximo dos raíces. Si u = √x, resolver √x = u da x = u². Cada u admisible produce un único valor de x porque el radical representa la raíz principal no negativa. La herramienta ordena y elimina duplicados, y devuelve solution_count. Antes de usar el resultado, compruebe que la sustitución elegida coincide con la estructura original. El sistema no interpreta notación algebraica libre ni deduce coeficientes de una ecuación escrita. Para automatizar el mismo cálculo determinista, cada solicitud cuesta $0.002.