ForHosting KIT · 開発者向けツール

置換で解く二次形式方程式

この計算ツールは、ある式をuと置くことで通常の二次方程式になる問題を解きます。3つの係数を入力し、uがxの2乗を表すのか、xの主平方根を表すのかを選択してください。置換後の根を求め、必要な定義域の条件を適用してから元の変数へ戻し、xの実数解をすべて表示します。判別式と簡潔な計算手順も示すため、課題の確認、例題の作成、代数的な解法の検証にご利用いただけます。

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別の式に隠れた二次方程式を見分けます

同じ式が1乗と2乗の形で現れる方程式は、置換によって二次形式として扱えます。たとえば、xの4乗から5x²を引いて4を足した式が0になる複二次方程式には、x²と、その2乗であるx⁴が含まれています。u = x²と置けば、u² − 5u + 4 = 0という通常の二次方程式になります。根号を含む場合も同様です。xと√xが同時に現れるとき、xは√xの2乗なので、u = √xと置くことで二次方程式に変換できます。このツールには、変換後のau² + bu + c = 0に対応するa、b、cを入力してください。元の式に合う置換を選ぶことが重要です。二次方程式の計算と、定義域の確認、逆置換を分けて考えることで、解の見落としや不適切な解の追加を防ぎやすくなります。

uについて解いた後で定義域を適用します

置換後、判別式b² − 4acを計算します。判別式が負なら実数のuはなく、対応する実数のxもありません。0なら重解が1つ、正なら候補が2つ得られます。ただし、候補がすべて有効とは限りません。対応している2種類の置換では、どちらもu ≥ 0でなければなりません。実数の2乗は負にならず、主平方根も負にならないためです。そこで、二次方程式から得た根をu_solutionsにすべて示し、定義域を満たす根だけをadmissible_u_solutionsに分けて表示します。除外された候補も確認できます。また、係数の大きさが大きく異なる場合の桁落ちを抑えるため、数値的に安定した二次方程式の解法を使用します。係数は有限の実数である必要があり、aが0なら変換後の式は二次ではなく一次になるため指定できません。

解を失わずに元の変数へ戻します

逆置換の方法はuの意味によって異なります。u = x²の場合、正のuからは正と負の平方根という2つの実数解が得られます。u = 0ならx = 0だけであり、同じ解を2回数えることはありません。そのため、置換後の二次方程式の根が最大2つでも、元の4次方程式には4個、2個、1個、または0個の異なる実数解があり得ます。u = √xの場合は、√x = uを解くとx = u²です。根号は非負の主平方根を表すため、有効なuごとにxは1つだけ得られます。ツールは最終値を並べ替え、重複を除き、solution_countも返します。利用前に、選んだ置換が元の式の構造と一致するかご確認ください。自由形式の数式を解析したり、入力した式から係数を推定したりはしません。自動処理では1回あたり$0.002で同じ決定的な結果を取得できます。

活用例

複二次方程式を解く

x²をuに置き換え、得られた二次方程式を解いて、必要に応じて正負両方のxの実数解を求めます。

根号について二次となる式を扱う

主平方根をuとし、負のuを除外して、有効な値を2乗することでxを求めます。

学習用の解答を確認する

判別式、uの全候補、定義域を満たす候補、並べ替えた最終解を手計算の結果と比較できます。

よくある質問

どの方程式を入力すればよいですか？

変換後の方程式au² + bu + c = 0のa、b、cを入力し、uで置き換える式を選択してください。

複素数解も表示されますか？

いいえ、実数解のみを表示します。判別式が負の場合、実数解の一覧は空になります。

uの解が除外されるのはなぜですか？

実数xに対してx²とxの主平方根はどちらも非負なので、負のuは対応するいずれの形にも戻せません。

x²で正のuから2つの答えが出るのはなぜですか？

x²が正なら、その正の平方根と負の平方根の両方が方程式を満たすためです。

uが√xのとき答えが1つなのはなぜですか？

主平方根は非負であり、有効なuを2乗すると対応する値x = u²が1つだけ得られるためです。

APIリクエストの料金はいくらですか？

APIは1回あたり$0.002です。同じ決定的な計算をブラウザーでは無料で実行できます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 4,
    "substitution": "x_squared"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 4,
    "substitution": "x_squared"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "a": 1,
  "b": -5,
  "c": 4,
  "substitution": "x_squared"
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.quadratic_in_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

KITの完全なドキュメントを見る →