ForHosting KIT · أدوات المطورين

حل المعادلات التربيعية بالتعويض وإيجاد الجذور الحقيقية

تعالج هذه الحاسبة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية عادية عند تسمية تعبير معين بالمتغير u.

● Betaمجاني · داخل متصفحك

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

أدخل المعاملات الثلاثة، ثم اختر ما إذا كان u يمثل مربع x أم الجذر التربيعي الرئيسي لـ x. تحسب الأداة جذور المعادلة بعد التعويض، وتطبق قيد المجال اللازم، ثم تعيد التعويض للحصول على جميع القيم الحقيقية لـ x. كما تعرض المميّز وسلسلة موجزة من الخطوات، مما يفيد في مراجعة التمارين وإعداد الأمثلة والتحقق من مسار الحل الجبري.

تعرّف على المعادلة التربيعية المختبئة داخل تعبير آخر

تكون المعادلة تربيعية في الصورة عندما يظهر التعبير نفسه مرة بالقوة الأولى ومرة أخرى مربعًا. فالمعادلة ثنائية التربيع التي تساوي فيها القوة الرابعة لـ x ناقص خمسة أمثال x² زائد أربعة صفرًا تحتوي على x² وعلى مربعه x⁴. وعند وضع u = x² تتحول إلى u² − 5u + 4 = 0. ويظهر النمط نفسه مع الجذور؛ فإذا احتوت المعادلة على x و√x، كان x مربع ذلك الجذر، ومن ثم يؤدي التعويض u = √x إلى معادلة تربيعية عادية. تستقبل الحاسبة المعاملات a وb وc وفق الصورة المحولة au² + bu + c = 0. اختر التعويض المطابق للتعبير الأصلي. يفصل هذا الأسلوب بين حساب جذور المعادلة التربيعية وبين فحص المجال والتعويض العكسي، وهما المرحلتان اللتان يشيع فيهما إسقاط حلول صحيحة أو إضافة حلول غير مقبولة.

حلّ بالنسبة إلى u ثم طبّق شرط المجال

بعد التعويض تحسب الأداة المميّز b² − 4ac. إذا كان سالبًا، فلا توجد قيم حقيقية لـ u، وبالتالي لا توجد قيم حقيقية لـ x في الصورتين المدعومتين. وإذا ساوى صفرًا، نتج جذر مكرر واحد لـ u، أما إذا كان موجبًا فتظهر قيمتان مرشحتان. غير أن المرشحات ليست صحيحة تلقائيًا. يقتضي كلا التعويضين أن يكون u ≥ 0؛ فمربع العدد الحقيقي لا يكون سالبًا، والجذر التربيعي الرئيسي لا يكون سالبًا أيضًا. لذلك تعرض الأداة جميع الجذور في u_solutions، ثم تعرض الجذور التي اجتازت فحص المجال منفصلة في admissible_u_solutions، وبذلك يظل الجذر المستبعد ظاهرًا. وتستخدم العملية صيغة مستقرة عدديًا للحد من فقد الدقة عندما تختلف أحجام المعاملات. يجب أن تكون المعاملات أعدادًا حقيقية منتهية، ويجب ألا يساوي a صفرًا، وإلا أصبحت المعادلة المحولة خطية لا تربيعية.

أعد التعويض من دون إسقاط جذور أو اختلاقها

يتوقف التعويض العكسي على معنى u. عندما يكون u = x²، تنتج عن كل قيمة موجبة مقبولة لـ u إجابتان حقيقيتان: الجذر الموجب والجذر السالب. أما إذا كان u = 0، فلا يوجد إلا x = 0، وليس نسختين مختلفتين من الحل نفسه. ولهذا قد يكون لمعادلة من الدرجة الرابعة أربعة حلول حقيقية مختلفة أو حلان أو حل واحد أو لا حل، مع أن المعادلة التربيعية بعد التعويض لا تملك أكثر من جذرين. وعندما يكون u = √x، فإن حل √x = u يعطي x = u². وينتج عن كل u مقبول قيمة واحدة فقط لـ x لأن رمز الجذر يدل على الجذر الرئيسي غير السالب. ترتب الأداة القيم النهائية، وتحذف التكرار، وتعيد solution_count معها. تحقق قبل اعتماد النتيجة من أن التعويض المختار يطابق بنية المعادلة الأصلية. لا تحلل الأداة صياغة جبرية حرة ولا تستنتج المعاملات من معادلة مكتوبة. وللاستخدام الآلي، تتاح النتيجة الحتمية نفسها مقابل $0.002 لكل طلب.

حالات الاستخدام

حل معادلة ثنائية التربيع

استبدل x² بالمتغير u، ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة واستخرج قيم x الحقيقية الموجبة والسالبة عند انطباق ذلك.

معالجة معادلة تربيعية في جذر

استخدم الجذر التربيعي الرئيسي بوصفه u، واستبعد الجذور السالبة بعد التعويض، ثم ربّع القيم المقبولة لاستعادة x.

مراجعة حل تعليمي

قارن المميّز وجميع جذور u والجذور الموافقة للمجال والحلول النهائية المرتبة بالاشتقاق اليدوي.

الأسئلة الشائعة

ما المعادلة التي ينبغي إدخالها؟

أدخل a وb وc للمعادلة المحولة au² + bu + c = 0، ثم اختر التعبير الذي يمثله u.

هل تعرض الحاسبة حلولًا مركبة؟

لا، فهي تعرض الحلول الحقيقية فقط. وينتج عن المميّز السالب قائمة فارغة من الحلول الحقيقية.

لماذا قد يُستبعد أحد حلول u؟

كل من x² والجذر التربيعي الرئيسي لـ x غير سالب عندما يكون x حقيقيًا؛ لذلك لا يمكن إعادة تعويض قيمة سالبة لـ u.

لماذا تعطي قيمة u الموجبة حلين عند u = x²؟

إذا كان x² عددًا موجبًا، فإن جذره الموجب وجذره السالب يحققان المعادلة معًا.

لماذا يوجد حل واحد فقط عندما يكون u = √x؟

الجذر الرئيسي غير سالب، وتربيع قيمة u المقبولة يعطي القيمة الوحيدة المناظرة x = u².

ما تكلفة طلب API؟

تبلغ تكلفة كل طلب API مقدار $0.002؛ ويمكن تشغيل الحاسبة الحتمية نفسها مجانًا في المتصفح.

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 4,
    "substitution": "x_squared"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 4,
    "substitution": "x_squared"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 1,
  "b": -5,
  "c": 4,
  "substitution": "x_squared"
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.quadratic_in_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←