Calculateur de Hensel

Il applique la forme à racine simple du lemme de Hensel afin d’obtenir l’unique racine compatible modulo p^k. Tous les calculs utilisent une arithmétique entière exacte. Le résultat affiche chaque module, racine et chiffre de correction intermédiaire pour que vous puissiez contrôler ou reproduire le relèvement. La chaîne complète des congruences reste visible.

Saisissez précisément le polynôme et la racine

Fournissez les coefficients du polynôme par degré croissant. Ainsi, [-2, 0, 1] désigne x au carré moins 2 : la première valeur est le terme constant, la deuxième multiplie x et la troisième multiplie x au carré. Indiquez ensuite un nombre premier p, une racine entière et l’exposant cible k. La racine peut être n’importe quel représentant entier ; le calculateur la réduit d’abord au résidu standard compris entre zéro et p moins un. Avant le relèvement, il vérifie que l’évaluation du polynôme en ce résidu vaut zéro modulo p. Il contrôle également que p est bien premier et que le polynôme est de degré positif. Ces vérifications sont nécessaires, car le lemme de Hensel ne recherche pas au hasard une racine modulaire initiale. Il part d’une racine déjà connue au premier niveau premier. Si cette condition échoue, un message d’entrée explicite remplace tout résidu dépourvu de justification mathématique.

Comprenez l’étape de Hensel pour une racine simple

Supposons que la racine courante r convienne modulo p élevé à n. Le candidat compatible suivant s’écrit r plus t fois p élevé à n, où t est un chiffre modulo p. Le quotient de la valeur courante du polynôme par p élevé à n, multiplié par l’inverse de la dérivée, détermine ce chiffre de correction. Le calculateur répète l’opération niveau après niveau jusqu’à p^k. L’hypothèse essentielle exige que la dérivée formelle à la racine initiale ne soit pas nulle modulo p. Elle devient alors inversible, et chaque correction existe de manière unique. Si la dérivée s’annule modulo p, cette capacité renvoie volontairement une erreur. Les racines singulières demandent une analyse plus générale : aucun relèvement, plusieurs relèvements ou un comportement variable aux puissances suivantes sont possibles. Choisir discrètement une branche dénaturerait le théorème et donnerait une fausse impression d’unicité aux calculs ultérieurs.

Lisez et contrôlez le relèvement obtenu

Le champ principal de la racine contient le plus petit représentant non négatif modulo la valeur p^k renvoyée. Les deux valeurs sont des chaînes décimales afin de rester exactes au-delà de la plage numérique sûre de JavaScript. L’exposant confirme le niveau demandé, derivative_mod_p mémorise le résidu non nul de la dérivée utilisé et verified indique si la substitution directe donne zéro modulo le module final. Le tableau lifts commence à l’exposant un et répertorie chaque racine et chaque module successifs. Dès la deuxième entrée, correction_digit est le chiffre en base p ajouté à cette étape. Cette trace facilite la vérification d’exercices, d’exemples détaillés, de tests algorithmiques et de notes de recherche reproductibles. Vous pouvez réévaluer le polynôme à toute racine affichée et vérifier sa divisibilité par le module associé. Le résultat est l’unique relèvement congruent à la racine initiale fournie modulo p ; une autre racine mène généralement à une branche p-adique différente.