Calculadora de Hensel

Ela aplica a forma de raiz simples do lema de Hensel para obter a única raiz compatível módulo p^k. Todos os cálculos usam aritmética inteira exata, e o resultado mostra cada módulo, raiz e dígito de correção intermediário para que você possa conferir ou reproduzir o levantamento. A cadeia completa de congruências permanece visível.

Informe o polinômio e a raiz de forma precisa

Informe o polinômio com coeficientes em ordem crescente de grau. Por exemplo, [-2, 0, 1] significa x ao quadrado menos 2: o primeiro item é o termo constante, o segundo multiplica x e o terceiro multiplica x ao quadrado. Depois, informe um primo p, uma raiz inteira e o expoente-alvo k. A raiz fornecida pode ser qualquer representante inteiro; a calculadora primeiro a reduz ao resíduo padrão entre zero e p menos um. Antes do levantamento, ela verifica se o polinômio avaliado nesse resíduo é zero módulo p. Também confirma que p é realmente primo e que o polinômio tem grau positivo. Essas verificações são importantes porque o lema de Hensel não procura às cegas uma raiz modular inicial. Ele começa com uma raiz já conhecida no primeiro nível primo. Se esse requisito falhar, a calculadora retorna um erro de entrada claro, em vez de exibir um resíduo sem justificativa matemática.

Entenda a etapa de Hensel para raiz simples

Suponha que a raiz atual r funcione módulo p elevado a n. O próximo candidato compatível tem a forma r mais t vezes p elevado a n, em que t é um dígito módulo p. A divisão do valor atual do polinômio por p elevado a n, seguida da multiplicação pelo inverso da derivada, determina esse dígito de correção. A calculadora executa essa operação nível por nível até alcançar p^k. A hipótese essencial é que a derivada formal na raiz inicial não seja zero módulo p. Isso torna a derivada invertível; portanto, cada correção existe e é única. Se a derivada se anular módulo p, esta capacidade para deliberadamente com um erro. Raízes singulares exigem uma análise mais geral: podem não ter levantamento, ter vários ou mudar de comportamento em potências posteriores. Escolher silenciosamente uma ramificação deturparia o teorema de raiz simples e poderia fazer cálculos posteriores parecerem únicos quando não são.

Leia e verifique o levantamento retornado

O campo principal da raiz contém o menor representante não negativo módulo o valor p^k retornado. Ambos aparecem como strings decimais, preservando os valores exatos mesmo quando ultrapassam o intervalo numérico seguro do JavaScript. O expoente confirma o nível solicitado, derivative_mod_p registra o resíduo não nulo da derivada usado no cálculo e verified informa se a substituição direta produz zero módulo o módulo final. O array lifts começa no expoente um e registra cada raiz e módulo sucessivos. A partir do segundo item, correction_digit é o dígito em base p acrescentado naquela etapa. Esse histórico é útil para conferir exercícios, exemplos resolvidos, testes de algoritmos e anotações de pesquisa reproduzíveis. Você pode avaliar o polinômio em qualquer raiz listada e confirmar a divisibilidade pelo módulo correspondente. O resultado é o levantamento único congruente com a raiz inicial fornecida módulo p; outra raiz do mesmo polinômio geralmente conduz a uma ramificação p-ádica compatível diferente.