Calculadora de derivada implícita da elipse

Informe os dois comprimentos positivos dos semieixos, as coordenadas do ponto e, opcionalmente, o centro. O resultado inclui a equação da elipse, a fórmula de dy/dx, a classificação da tangente e uma inclinação numérica com a reta na forma ponto-inclinação, ou uma reta vertical. O ponto é validado antes da apresentação da inclinação, o que impede que uma coordenada alheia à curva gere uma resposta plausível, porém inválida.

Descreva a elipse e o ponto

Use semi_axis_x para o semieixo horizontal a e semi_axis_y para o semieixo vertical b. Ambos representam comprimentos e, portanto, devem ser números finitos positivos. Os campos opcionais center_x e center_y representam h e k; o padrão de ambos é zero, produzindo uma elipse centrada na origem. Depois, informe as coordenadas x e y do ponto em que você deseja calcular a inclinação tangente. A equação aceita é (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1, com eixos paralelos aos eixos coordenados. Digite os semieixos, não a largura e a altura completas: uma elipse com dez unidades de largura e seis de altura tem a = 5 e b = 3. A calculadora substitui o ponto na equação normalizada e exige resultado igual a um dentro de uma pequena tolerância numérica. Essa verificação é necessária porque a fórmula descreve inclinações apenas sobre a curva. Elipses giradas e equações com termo xy não fazem parte deste modelo.

Acompanhe a diferenciação implícita

Comece com (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 e derive os dois lados em relação a x. O primeiro termo vira 2(x − h)/a². O segundo contém y, que depende de x, então a regra da cadeia produz 2(y − k)(dy/dx)/b². A derivada da constante à direita é zero. Após cancelar o fator comum dois, passe o termo de x para o outro lado e isole dy/dx. O resultado é dy/dx = −b²(x − h) dividido por a²(y − k). A saída preserva essa estrutura em derivative_formula e substitui as coordenadas fornecidas para calcular slope. Para a = 5, b = 3, centro (0, 0) e ponto (4, 1.8), a inclinação é −0.8. A equação devolvida está na forma ponto-inclinação e pode ser convertida para outra forma. Manter fórmula e valor juntos facilita conferir sinais, quadrados, deslocamentos do centro e a aplicação da regra da cadeia.

Interprete tangentes finitas, horizontais e verticais

A maioria dos pontos válidos gera uma inclinação numérica finita e uma reta tangente na forma ponto-inclinação. Quando x é igual a h, o numerador da derivada é zero; se y for diferente de k, a tangente é horizontal e tangent_type registra essa classificação. Nos pontos mais à esquerda ou à direita, y é igual a k e o denominador zera. A tangente é vertical e não existe um valor numérico comum para dy/dx. Nesse caso, a saída omite slope e devolve uma reta como x = 5. Omitir um valor indefinido é mais seguro do que codificá-lo como null, infinito ou uma aproximação enorme. A validação do ponto usa tolerância adimensional de 1e-9, mas não projeta pontos aproximados na curva nem corrige medidas incompatíveis. Valores extremos que excedam a aritmética finita também são rejeitados. O algoritmo não usa rede, aleatoriedade, estado salvo nem relógio; assim, entradas idênticas sempre geram resultados estruturados idênticos.