Calcolatore della derivata implicita dell'ellisse

Inserisca i due semiassi positivi, le coordinate del punto e, se necessario, il centro. Il risultato comprende equazione, formula di dy/dx, classificazione della tangente e una pendenza numerica con retta in forma punto-pendenza, oppure una retta verticale. Il punto viene verificato prima di mostrare la pendenza, evitando risposte plausibili ma non valide.

Descriva l’ellisse e il punto

Usi semi_axis_x per il semiasse orizzontale a e semi_axis_y per quello verticale b. Essendo lunghezze, devono essere numeri finiti positivi. I campi facoltativi center_x e center_y rappresentano h e k e valgono zero per impostazione predefinita. Indichi quindi le coordinate x e y del punto. L’equazione supportata è (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1, con assi paralleli a quelli cartesiani. Inserisca i semiassi, non larghezza e altezza complete: un’ellisse larga dieci unità e alta sei ha a = 5 e b = 3. Il calcolatore sostituisce il punto nell’equazione normalizzata e richiede un risultato uguale a uno entro una piccola tolleranza numerica. La verifica è necessaria perché la formula descrive pendenze solo sulla curva. Ellissi ruotate ed equazioni con un termine xy non rientrano nel modello.

Segua la derivazione implicita

Parta da (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 e derivi entrambi i membri rispetto a x. Il primo termine diventa 2(x − h)/a². Poiché y dipende da x, la regola della catena trasforma il secondo in 2(y − k)(dy/dx)/b². La derivata della costante è zero. Elimini il fattore comune due, sposti il termine in x e isoli dy/dx: dy/dx = −b²(x − h) diviso per a²(y − k). L’output conserva questa struttura in derivative_formula e sostituisce le coordinate per calcolare slope. Con a = 5, b = 3, centro (0, 0) e punto (4, 1.8), la pendenza è −0.8. La retta restituita usa la forma punto-pendenza e può essere convertita in altre forme. Formula e valore affiancati facilitano il controllo di segni, quadrati, traslazioni del centro e regola della catena.

Interpreti tangenti finite, orizzontali e verticali

Quasi tutti i punti validi producono una pendenza finita e una retta in forma punto-pendenza. Quando x = h, il numeratore è zero; se y è diverso da k, la tangente è orizzontale e tangent_type lo segnala. Agli estremi sinistro e destro, y = k e il denominatore è zero. La tangente è verticale e dy/dx non possiede un normale valore numerico. L’output omette quindi slope e restituisce una retta come x = 5. L’omissione è più sicura di null, infinito o un’approssimazione enorme. Il punto viene controllato con una tolleranza adimensionale di 1e-9, senza proiettare punti approssimativi né correggere misure incoerenti. Sono respinti anche valori che superano l’aritmetica finita. L’algoritmo non usa rete, casualità, stato salvato o orologio, quindi input uguali producono sempre lo stesso risultato strutturato.