Calculadora de derivada implícita de una elipse

Introduzca las dos longitudes positivas de los semiejes, las coordenadas del punto y, si corresponde, el centro. El resultado incluye la ecuación de la elipse, la fórmula de dy/dx, el tipo de tangente y una pendiente numérica con su recta en forma punto-pendiente, o bien una recta vertical. Antes de mostrar la pendiente, se comprueba el punto para evitar resultados plausibles pero incorrectos.

Describa la elipse y el punto

Use semi_axis_x para el semieje horizontal a y semi_axis_y para el semieje vertical b. Como son longitudes, ambos deben ser números finitos positivos. Los campos opcionales center_x y center_y representan h y k; su valor predeterminado es cero, por lo que describen una elipse centrada en el origen. Indique después las coordenadas x e y del punto donde desea conocer la pendiente tangente. La ecuación admitida es (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1, con ejes paralelos a los coordenados. Introduzca semiejes, no anchura y altura completas: una elipse de diez unidades de ancho y seis de alto tiene a = 5 y b = 3. La calculadora sustituye el punto en la ecuación normalizada y exige que el resultado sea uno dentro de una pequeña tolerancia numérica. La comprobación es esencial porque la fórmula solo describe pendientes sobre la curva. No se admiten elipses giradas ni ecuaciones con un término xy.

Siga la diferenciación implícita

Parta de (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 y derive ambos miembros respecto de x. El primer término se convierte en 2(x − h)/a². El segundo contiene y, que depende de x, por lo que la regla de la cadena produce 2(y − k)(dy/dx)/b². La derivada de la constante derecha es cero. Tras cancelar el factor común dos, pase el término con x al otro miembro y despeje dy/dx. Así obtiene dy/dx = −b²(x − h) dividido entre a²(y − k). La salida conserva esta estructura en derivative_formula y sustituye las coordenadas para calcular slope. Para a = 5, b = 3, centro (0, 0) y punto (4, 1.8), la pendiente es −0.8. La ecuación devuelta usa la forma punto-pendiente y puede transformarse en forma explícita o general. Ver juntas la fórmula y la evaluación ayuda a revisar signos, cuadrados, desplazamientos del centro y la aplicación de la regla de la cadena.

Interprete tangentes finitas, horizontales y verticales

La mayoría de los puntos válidos producen una pendiente numérica finita y una recta tangente en forma punto-pendiente. Si x coincide con h, el numerador de la derivada es cero; siempre que y difiera de k, la tangente es horizontal y tangent_type lo indica. En los extremos izquierdo y derecho, y coincide con k y el denominador es cero. Allí la tangente es vertical y no existe un valor numérico ordinario para dy/dx. En ese caso se omite slope y se devuelve una recta como x = 5. Omitir el valor indefinido es más seguro que usar null, infinito o una aproximación enorme. La pertenencia a la curva se comprueba con una tolerancia adimensional de 1e-9, pero no se proyectan puntos aproximados ni se corrigen medidas incompatibles. También se rechazan magnitudes que desborden la aritmética finita. Como el algoritmo no usa red, azar, estado ni reloj, una misma entrada siempre produce la misma salida estructurada.