حاسبة الجزء الصحيح الدقيق للجذر من الرتبة k

تعتمد العملية كلها على حساب الأعداد الصحيحة، لذلك لا تتأثر القوى الكاملة ولا القيم القريبة من حدودها بأخطاء تقريب الفاصلة العائمة. تقبل الأعداد الموجبة كل رتبة موجبة، أما الأعداد السالبة فتقبل الرتب الفردية. تناسب النتيجة الخوارزميات والبراهين وقواعد التحقق وكل مسار يحتاج إلى قيمة سفلية قابلة للتكرار بدلًا من تقريب عشري.

معنى الجزء الصحيح السفلي لجذر من الرتبة n

عندما يكون n عددًا صحيحًا غير سالب ويكون k عددًا صحيحًا موجبًا، تحدد متباينتان النتيجة r: تكون قوة r للأس k أصغر من n أو مساوية له، بينما تكون قوة r زائد واحد للأس k أكبر من n. يحدد هذا التعريف عددًا صحيحًا دقيقًا من دون مطالبة مكتبة عشرية بتقريب جذر غير نسبي. فجذر 1000 التكعيبي يساوي 10 تمامًا، ولذلك تكون القيمة السفلية 10. أما جذر 999 التكعيبي فهو أقل قليلًا من 10، فتكون قيمته السفلية 9. تحتاج القيم السالبة إلى تطبيق دقيق لمفهوم الجزء الصحيح السفلي الرياضي. فالجذر التكعيبي الحقيقي للعدد -9 أقل قليلًا من -2، ولذلك يكون جزؤه الصحيح السفلي -3 لا -2. لا تملك الأعداد السالبة جذورًا حقيقية في هذه القدرة إلا عندما تكون k فردية. وتُرفض الرتبة الزوجية مع n سالب لعدم وجود نتيجة حقيقية يمكن أخذ جزئها الصحيح السفلي. كما تُقبل الرتبة واحد، وعندها تكون النتيجة n نفسها.

كيف تمنع حسابات الأعداد الصحيحة أخطاء التقريب

تحسب طريقة شائعة الجذر بدالة أس ذات فاصلة عائمة ثم تقربه إلى الأسفل. قد يفشل هذا الاختصار قرب القوى الكاملة، إذ يمكن لخطأ تمثيل ضئيل أن يضع القيمة المحسوبة في الجانب الخطأ من حد صحيح. تبحث هذه القدرة بدلًا من ذلك عن الإجابة باستعمال الأعداد الصحيحة، وتقارن قوى محدودة من دون تحويل الجذر إلى تقريب عشري. يُنفذ رفع القوة بالتربيع المتكرر، وتتوقف أي عملية ضرب فور التأكد من أن نتيجتها ستتجاوز العدد الواقع تحت الجذر. بعد ذلك يضيّق البحث الثنائي مجال القيم المرشحة حتى لا يبقى إلا أكبر عدد صحيح صالح. تُقيد قيمة n بمجال الأعداد الصحيحة الآمنة التي تمثلها أعداد JSON في JavaScript بدقة، مما يضمن عدم تقريب العدد الذي قدمه المستخدم قبل بدء الحساب. وتُقيد k بالقيم من 1 إلى 1024 كي يبقى زمن التنفيذ متوقعًا، مع أن الرتب الكبيرة تؤدي غالبًا بسرعة إلى جذور تساوي صفرًا أو واحدًا أو سالب واحد.

اختيار المدخلات وفهم النتيجة

أدخلوا n بوصفه عددًا صحيحًا، وk بوصفه الرتبة الصحيحة الموجبة للجذر. استخدموا k مساوية لـ 2 لحساب الجزء الصحيح السفلي للجذر التربيعي، و3 للجذر التكعيبي، وهكذا. تكرر الاستجابة n وk وتقدم root بوصفه النتيجة الأساسية، مما يسهل حفظها مع سجل تدقيق أو مقارنتها بحساب آخر. تذكروا أن الجزء الصحيح السفلي يعني دائمًا التقريب نحو سالب ما لا نهاية. لذلك ينتقل الجذر الفردي السالب غير الدقيق إلى العدد الصحيح الأكثر سلبية الذي يليه، بينما يؤدي القطع نحو الصفر إلى إجابة مختلفة وخاطئة. يفيد هذا الفرق في خوارزميات المجالات وإجراءات نظرية الأعداد والهندسة المتقطعة وتخطيط السعة عندما يحدد الجذر حدًا صحيحًا. الحساب حتمي، ولا يستخدم خدمة شبكة، ولا يحتفظ بالمدخلات. يشترك المتصفح وAPI في دالة الحل نفسها. تبلغ تكلفة طلبات API الآلية $0.002 لكل عنصر، بينما يمنحكم التنفيذ في المتصفح النتيجة الرياضية نفسها من دون حاسبة تقريبية أو تصحيح يدوي قرب القوى الكاملة.