Ganzzahlige n-te Wurzel exakt abrunden

Er verwendet durchgehend Ganzzahlarithmetik. Daher verursachen vollkommene Potenzen und Werte nahe einer Potenzgrenze keine Gleitkommafehler. Positive Radikanden sind für jeden positiven Grad zulässig, negative Radikanden für ungerade Grade. Das Ergebnis eignet sich für Algorithmen, Beweise, Validierungsregeln und Abläufe, die eine reproduzierbare Abrundung statt einer Dezimalnäherung benötigen.

Was die Abrundung einer n-ten Wurzel bedeutet

Für eine nicht negative ganze Zahl n und eine positive ganze Zahl k wird das Ergebnis r durch zwei Ungleichungen bestimmt: r hoch k ist höchstens n, während r plus eins hoch k größer als n ist. Diese Definition legt eine exakte ganze Zahl fest, ohne dass eine Dezimalbibliothek eine irrationale Wurzel annähern muss. Die Kubikwurzel aus 1000 ist beispielsweise genau 10, sodass die Abrundung 10 ergibt. Die Kubikwurzel aus 999 liegt knapp unter 10 und wird daher auf 9 abgerundet. Bei negativen Werten muss die mathematische Abrundung sorgfältig angewandt werden. Die reelle Kubikwurzel aus -9 liegt etwas unter -2; ihre Abrundung ist deshalb -3 und nicht -2. Negative Radikanden besitzen in dieser Fähigkeit nur bei ungeradem k eine reelle Wurzel. Ein gerader Grad mit negativem n wird abgelehnt, weil kein reelles Ergebnis zum Abrunden existiert. Auch der Grad eins ist zulässig und gibt einfach n zurück.

Wie exakte Ganzzahlarithmetik Rundungsfehler verhindert

Eine verbreitete Umsetzung berechnet die Wurzel mit einer Gleitkomma-Potenzfunktion und rundet anschließend ab. Diese Abkürzung kann in der Nähe exakter Potenzen scheitern, weil ein winziger Darstellungsfehler den berechneten Wert auf die falsche Seite einer Ganzzahlgrenze verschiebt. Diese Fähigkeit sucht stattdessen mit ganzen Zahlen nach der Antwort und vergleicht begrenzte Potenzen, ohne die Wurzel in eine Dezimalnäherung umzuwandeln. Die Potenzierung erfolgt durch fortgesetztes Quadrieren; eine Multiplikation endet, sobald sicher ist, dass sie den Radikanden überschreitet. Danach verkleinert eine binäre Suche das Kandidatenintervall, bis nur die größte gültige Ganzzahl übrig bleibt. Die Eingabe n ist auf den exakt darstellbaren sicheren Ganzzahlbereich von JSON-Zahlen in JavaScript beschränkt. Dadurch wurde der übergebene Wert nicht schon vor dem Rechenbeginn gerundet. Der Grad k liegt zwischen 1 und 1024, damit die Laufzeit vorhersehbar bleibt, obwohl hohe Grade meist rasch zu null, eins oder minus eins führen.

Eingaben wählen und das Ergebnis richtig lesen

Geben Sie n als Ganzzahl und k als positiven ganzzahligen Wurzelgrad an. Verwenden Sie k gleich 2 für die abgerundete ganzzahlige Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel und entsprechend höhere Werte für weitere Wurzeln. Die Antwort wiederholt n und k und enthält root als Hauptergebnis. Dadurch lässt sie sich einfach mit einem Prüfprotokoll speichern oder mit einer anderen Berechnung vergleichen. Beachten Sie, dass Abrundung stets in Richtung negativ unendlich erfolgt. Eine nicht exakte negative ungerade Wurzel wird deshalb zur nächstkleineren, also stärker negativen Ganzzahl; Abschneiden in Richtung null wäre ein anderes und falsches Ergebnis. Dieser Unterschied ist bei Intervallalgorithmen, zahlentheoretischen Verfahren, diskreter Geometrie und Kapazitätsplanung wichtig, wenn eine Wurzel eine ganzzahlige Grenze bestimmt. Die Berechnung ist deterministisch, verwendet keinen Netzwerkdienst und speichert keine Eingabe. Browser und API nutzen dieselbe Lösungsfunktion. Automatisierte API-Anfragen kosten $0.002 je Element; im Browser erhalten Sie dasselbe mathematische Ergebnis ohne Näherungsrechner oder manuelle Korrekturen an Potenzgrenzen.