ForHosting KIT · أدوات المطورين

حاسبة نقاط انعطاف كثيرة الحدود

تحسب هذه الأداة إحداثيات x الحقيقية لنقاط انعطاف كثيرة الحدود، أي المواضع التي يتغير عندها التقعر.

● Betaمجاني · داخل متصفحك

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

أدخل المعاملات بترتيب تنازلي للدرجات، مع وضع الصفر مكان كل قوة غير موجودة. تكوّن الحاسبة المشتقة الثانية، وتعزل جميع أصفارها الحقيقية، ثم تفحص الإشارة على جانبي كل قيمة مرشحة. وهذه الخطوة الأخيرة ضرورية، لأن انعدام المشتقة الثانية يجعل الموضع مرشحًا فحسب، ولا يكون نقطة انعطاف إلا إذا تغير التقعر عنده فعلًا.

أدخل كثيرة الحدود مع الحفاظ على مواضع الحدود الغائبة

مثّل كثيرة الحدود بقائمة معاملات تبدأ بمعامل أعلى قوة وتنتهي بالحد الثابت. فكثيرة الحدود التكعيبية، مثلًا، تحتاج إلى أربعة مواضع: معاملات x تكعيب وx تربيع وx ثم الثابت. إذا لم تظهر قوة معينة في الصيغة المكتوبة، فضع صفرًا في موضعها. يحافظ ذلك على ارتباط كل معامل بدرجته الصحيحة ويمنع الحد الغائب من إزاحة القيم اللاحقة. يجب ألا يكون المعامل الأول صفرًا، وأن تكون جميع القيم محدودة، وأن تصف القائمة كثيرة حدود من الدرجة الثانية على الأقل. ويمكنك أيضًا تحديد عدد المنازل العشرية في الإحداثيات الناتجة. تؤثر الدقة في طريقة العرض فقط ولا تغير البحث الرياضي. المشتقة الثانية لكثيرة الحدود التربيعية ثابتة، ولذلك لا يمكن أن يتغير تقعرها وتكون القائمة الفارغة نتيجة صحيحة. يعرض الناتج إحداثيات x فقط؛ فإذا احتجت إلى إحداثيات y أيضًا، فعوّض بكل قيمة في كثيرة الحدود الأصلية.

لماذا لا يكفي حل معادلة المشتقة الثانية

تتطلب نقطة الانعطاف انتقال المنحنى من التقعر إلى أعلى إلى التقعر إلى أسفل، أو العكس. تحدد أصفار المشتقة الثانية القيم المرشحة، لكن بعضها لا يحقق هذا التعريف. فقد يلامس الصفر ذو التعدد الزوجي المحور الأفقي من دون أن يقطعه، فتبقى إشارة المشتقة الثانية واحدة على الجانبين. تستبعد الحاسبة هذه النتائج الزائفة؛ فهي تشتق قائمة المعاملات مرتين، وتجد كل صفر حقيقي متميز للمشتقة الثانية، وتقسم خط الأعداد الحقيقي إلى فترات حول تلك الأصفار. ثم تحسب قيمة المشتقة الثانية في الفترة الواقعة مباشرة عن يسار كل مرشح والفترة الواقعة عن يمينه. ولا تعيد المرشح إلا عندما تكون الإشارتان متعاكستين. تعالج هذه الطريقة الجذور المتكررة أيضًا: فالتعدد الفردي يغير الإشارة وينتج نقطة انعطاف، أما التعدد الزوجي فلا يفعل. ولا تدخل الجذور المركبة في الحساب لأنها ليست إحداثيات على الرسم الحقيقي.

فسّر الإحداثيات الناتجة وتحقق منها

يمثل كل عدد في الناتج إحداثي x يتغير عنده تقعر الرسم. اقرأ القيم من اليسار إلى اليمين، واستخدم إشارة المشتقة الثانية بين القيم لوصف المنحنى. تعني المشتقة الثانية الموجبة أن التقعر إلى أعلى، وتعني السالبة أن التقعر إلى أسفل. ولا تعني القائمة الفارغة بالضرورة أن المشتقة الثانية بلا أصفار؛ بل تعني أن أي صفر حقيقي لا يسبب تغير الإشارة المطلوب، أو أن المشتقة الثانية ثابت غير صفري. تفيد الإحداثيات المقربة في التقارير والرسم، لكن الجذر عالي التعدد قد يتأثر عند التعويض، لذا ارفع الدقة قبل استخدام القيمة العشرية في حساب لاحق. الحساب حتمي ومحدود بكثيرة حدود من الدرجة عشرين، ولا يعتمد على الشبكة أو أخذ عينات من الرسم. ويعزل الجذور بالاستفادة من بنية المشتقات بدل مسح نقاط متباعدة، لذلك يستطيع العثور على مرشحين متقاربين قد لا يظهرون في رسم تقريبي. وللتحقق المستقل، أنشئ جدول إشارات للمشتقة الثانية وتأكد من اختلاف الإشارتين حول كل إحداثي معروض.

حالات الاستخدام

مراجعة مسألة في التفاضل

تحقق من أصفار المشتقة الثانية التي تمثل تغيرًا حقيقيًا في التقعر وليست مجرد قيم مرشحة.

إعداد رسم تقريبي لكثيرة الحدود

ضع الإحداثيات الناتجة في جدول إشارات قبل رسم فترات التقعر إلى أعلى وإلى أسفل.

التحقق من ناتج رمزي

قارن قائمة نظام الجبر باختبار حتمي مستقل يعتمد على تغير الإشارة.

الأسئلة الشائعة

ما تكلفة استخدام الحاسبة؟

تكلفة كل طلب عبر API هي $0.002. أما الحساب داخل المتصفح فلا يحتاج إلى معالجة على الخادم.

لماذا يُستبعد أحيانًا صفر للمشتقة الثانية؟

يُستبعد عندما تحتفظ المشتقة الثانية بالإشارة نفسها على الجانبين، فلا يتغير تقعر الرسم عنده.

كيف أدخل حدًا غير موجود في كثيرة الحدود؟

ضع معاملًا يساوي صفرًا مكان القوة الغائبة حتى يحتفظ كل موضع بدرجته الصحيحة في الترتيب التنازلي.

هل يتضمن الناتج إحداثيات y؟

لا. يتضمن الناتج إحداثيات x المطلوبة فقط. عوّض بكل قيمة في كثيرة الحدود الأصلية للحصول على إحداثي y.

هل لكثيرة الحدود التربيعية نقطة انعطاف؟

لا. مشتقتها الثانية ثابتة، ولذلك لا يمكن أن يتغير تقعرها.

هل تعرض الحاسبة إحداثيات انعطاف مركبة؟

لا. تصف نقاط الانعطاف تغيرات على رسم حقيقي، ولذلك لا تؤخذ إلا إحداثيات x الحقيقية.

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      2
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        2
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    2
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.inflection_points_polynomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_coefficients 21

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←