Calculadora de pontos de inflexão de um polinômio

Informe os coeficientes em ordem decrescente de grau, incluindo zeros para potências ausentes. A ferramenta calcula a segunda derivada, isola todos os seus zeros reais e verifica o sinal nos dois lados de cada candidato. Essa última verificação é indispensável: um zero da segunda derivada é apenas um possível ponto de inflexão e só vale quando a concavidade realmente muda.

Informe o polinômio sem perder termos ausentes

Represente o polinômio por uma lista de coeficientes ordenada da maior potência até o termo constante. Por exemplo, um polinômio cúbico tem quatro posições: os coeficientes de x ao cubo, x ao quadrado, x e da constante. Se uma potência não aparecer na fórmula, coloque zero na posição correspondente. Isso mantém o grau associado a cada coeficiente e impede que a ausência de um termo desloque os valores seguintes. O primeiro coeficiente deve ser diferente de zero, todos os valores precisam ser finitos e a lista deve representar pelo menos um polinômio quadrático. Você também pode escolher quantas casas decimais serão usadas nas coordenadas retornadas. A precisão altera apenas a apresentação, não a busca matemática. Como uma quadrática tem segunda derivada constante, ela não muda de concavidade e retorna corretamente uma lista vazia. O resultado contém somente coordenadas x; substitua cada uma no polinômio original se também precisar da coordenada y.

Por que resolver a segunda derivada não é suficiente

Um ponto de inflexão exige a passagem de concavidade para cima para concavidade para baixo, ou o inverso. Os zeros da segunda derivada fornecem candidatos, mas nem todos satisfazem essa definição. Um zero de multiplicidade par pode apenas tocar o eixo horizontal, sem atravessá-lo, e manter o mesmo sinal dos dois lados. A calculadora elimina esses falsos positivos. Ela deriva duas vezes a lista de coeficientes, encontra cada zero real distinto da segunda derivada e divide a reta real em intervalos ao redor desses zeros. Em seguida, avalia a segunda derivada nos intervalos imediatamente à esquerda e à direita de cada candidato. O valor só é retornado quando os sinais são opostos. O procedimento também trata raízes repetidas: multiplicidade ímpar causa mudança de sinal e gera inflexão; multiplicidade par não. Raízes complexas não são coordenadas da curva real e ficam fora da lista de candidatos e do resultado final.

Interprete e confira as coordenadas retornadas

Cada número retornado é uma coordenada x em que o gráfico muda de concavidade. Leia os valores da esquerda para a direita e use o sinal da segunda derivada entre eles para descrever a curva. Segunda derivada positiva significa concavidade para cima; negativa significa concavidade para baixo. Uma lista vazia não afirma necessariamente que a segunda derivada não tem zeros. Ela indica que nenhum zero real produz a mudança de sinal exigida ou que a segunda derivada é uma constante não nula. Coordenadas arredondadas são práticas para relatórios e gráficos, mas uma raiz de multiplicidade alta pode ser sensível à substituição; aumente a precisão antes de reutilizar o decimal. O cálculo é determinístico, limitado ao grau vinte e não usa rede nem amostragem do gráfico. O isolamento segue a estrutura das derivadas, em vez de examinar uma grade fixa, e por isso pode encontrar candidatos próximos que um gráfico grosseiro deixaria passar.