Calculadora de puntos de inflexión de un polinomio

Introduzca los coeficientes en orden descendente de grado, incluidos los ceros correspondientes a potencias ausentes. La herramienta calcula la segunda derivada, aísla todos sus ceros reales y comprueba el signo a ambos lados de cada candidato. Esta última comprobación es esencial: un cero de la segunda derivada solo es un posible punto de inflexión y no cuenta si la concavidad no cambia.

Introduzca el polinomio sin omitir los términos ausentes

Represente el polinomio mediante una lista de coeficientes ordenada desde la potencia más alta hasta el término independiente. Por ejemplo, un polinomio cúbico ocupa cuatro posiciones: los coeficientes de x al cubo, x al cuadrado, x y la constante. Si una potencia no aparece en la fórmula escrita, coloque un cero en su posición. Así se conserva el grado asociado a cada coeficiente y se evita que un término omitido desplace los valores siguientes. El primer coeficiente debe ser distinto de cero, todos los valores deben ser finitos y la lista debe describir al menos un polinomio cuadrático. También puede elegir el número de decimales de las coordenadas devueltas. La precisión solo modifica la presentación, no la búsqueda matemática. Una cuadrática tiene segunda derivada constante, por lo que no puede cambiar de concavidad y devuelve correctamente una lista vacía. El resultado ofrece únicamente coordenadas x; evalúe el polinomio original en cada una si también necesita la coordenada y.

Por qué no basta con resolver la segunda derivada

Un punto de inflexión exige pasar de concavidad hacia arriba a concavidad hacia abajo, o al contrario. Los ceros de la segunda derivada señalan candidatos, pero algunos no cumplen esa definición. Un cero de multiplicidad par, por ejemplo, puede tocar el eje horizontal sin cruzarlo y dejar el mismo signo a ambos lados. La calculadora evita esos falsos positivos: deriva dos veces la lista, encuentra cada cero real distinto de la segunda derivada y divide la recta real en intervalos alrededor de ellos. Después evalúa la segunda derivada en los intervalos inmediatamente anterior y posterior a cada candidato. Solo devuelve el candidato si los signos son opuestos. Este método también trata correctamente las raíces repetidas: una raíz de multiplicidad impar cambia de signo y sí produce inflexión, mientras que una de multiplicidad par no. Las raíces complejas no pertenecen a la gráfica real y, por tanto, no aparecen en el resultado.

Interprete y compruebe las coordenadas obtenidas

Cada número devuelto es una coordenada x donde la gráfica cambia de concavidad. Ordénelas de izquierda a derecha y use el signo de la segunda derivada entre ellas para describir la curva. Una segunda derivada positiva indica concavidad hacia arriba; una negativa indica concavidad hacia abajo. Una lista vacía no significa necesariamente que la segunda derivada carezca de ceros: significa que ninguno de sus ceros reales provoca el cambio de signo requerido, o que la segunda derivada es una constante no nula. Las coordenadas redondeadas resultan prácticas para informes y gráficos, pero una raíz de multiplicidad alta puede ser sensible al sustituirla; aumente la precisión antes de reutilizar el decimal. El cálculo es determinista, admite hasta grado veinte y no usa red ni muestreo gráfico. El aislamiento se apoya en la estructura derivada del polinomio, no en una cuadrícula fija, por lo que puede localizar candidatos próximos que una gráfica poco detallada no mostraría.