حاسبة الضرب الاتجاهي ثنائي الأبعاد

تحتفظ القيمة القياسية بإشارتها: فالنتيجة الموجبة تعني أن الدوران من المتجه الأول إلى الثاني عكس اتجاه عقارب الساعة، والنتيجة السالبة تعني أنه مع اتجاهها، أما الصفر فيعني أن المتجهين متوازيان أو أن أحدهما متجه صفري. أدخلوا المركبات الأربع للحصول على نتيجة دقيقة وحتمية تصلح للهندسة والميكانيكا والرسوميات واختبارات الاتجاه.

ما الذي يمثله الضرب الاتجاهي ثنائي الأبعاد بإشارته

في الفضاء ثلاثي الأبعاد يكون الضرب الاتجاهي متجهًا عموديًا على متجهي الإدخال. وعندما يقتصر المتجهان على مستوى، لا يبقى مهمًا سوى المركبة العمودية، ولذلك يُعبّر عنها عادة بقيمة قياسية. إذا كان a = (a_x, a_y) و b = (b_x, b_y)، فإن هذه الحاسبة تحسب a_x b_y − a_y b_x. تساوي القيمة المطلقة مساحة متوازي الأضلاع الذي ينشئه المتجهان، بينما تسجل الإشارة اتجاه ترتيبهما. تدل القيمة الموجبة، وفق الاصطلاح الديكارتي المعتاد، على أن الدوران من a إلى b يجري عكس اتجاه عقارب الساعة. وتدل القيمة السالبة على دوران مع اتجاه عقارب الساعة. أما النتيجة الصفرية فتعني أن المتجهين تابعان خطيًا، سواء اتجها في الاتجاه نفسه أو في اتجاهين متعاكسين أو كان طول أحدهما صفرًا. ولأن الإشارة تحمل معلومة هندسية مفيدة، لا تحول الحاسبة النتيجة إلى قيمتها المطلقة.

كيفية إدخال المركبات وقراءة النتيجة

أدخلوا المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه الأول في a_x و a_y، ثم أدخلوا المركبتين المناظرتين للمتجه الثاني في b_x و b_y. يمكن أن تكون القيم موجبة أو سالبة أو صفرًا، كما يمكن أن تتضمن كسورًا عشرية. ترتيب المتجهين مهم؛ فتبديل a و b يعكس إشارة الجواب لأن b_x a_y − b_y a_x هو سالب المحدد الأصلي. يفيد هذا التناظر المضاد في التحقق من منطق تحديد الاتجاه. فعند تبديل طرفي العملية، ينبغي أن يتحول المقدار الموجب بإشارته إلى مقدار سالب مساوٍ له في القيمة المطلقة. إذا كانت مركبات المتجهين مقيسة بالوحدة الفيزيائية نفسها، فستكون وحدة القيمة القياسية مربعة؛ فمتجهان مقيسان بالأمتار ينتجان قيمة شبيهة بالمساحة بوحدة المتر المربع. وقد تتجاوز المركبات المحدودة شديدة الكبر مجال الحساب العددي المعتاد، لذلك ترفض الحاسبة محددًا غير محدود بدلًا من عرض ما لا نهاية بصورة مضللة.

استخدام المحدد في الهندسة والحوسبة

المحدد ذو الإشارة لبنة موجزة في كثير من الخوارزميات المستوية. ففي الهندسة الحاسوبية يمكنه تصنيف موضع نقطة إلى يسار خط موجه أو يمينه عن طريق تكوين متجهي إزاحة لهما نقطة بداية مشتركة. وتستخدم إجراءات المضلعات الضرب الاتجاهي بإشارته مرارًا لاختبار التحدب وترتيب نقاط الحدود وتجميع المساحة الموجهة. وفي الميكانيكا يعطي التعبير نفسه مركبة عزم الدوران العمودية على المستوى عندما تُمثل الإزاحة والقوة في بعدين. وتستخدمه الرسوميات الحاسوبية والألعاب لتحديد جهة المواجهة وترتيب التفاف الرؤوس واتجاه الانعطاف والجانب الذي يقع فيه جسم بالنسبة إلى حافة. إذا كنتم تحتاجون إلى المساحة الفيزيائية فقط، فخذوا القيمة المطلقة للمقدار ذي الإشارة الناتج؛ ولحساب مثلث ضلعاه هما المتجهان اقسموا تلك القيمة على اثنين. أبقوا الإشارة عندما يكون الاتجاه مهمًا، لأن حذفها يزيل الفرق بين الترتيب الموافق لاتجاه عقارب الساعة والترتيب المعاكس له.