Produto vetorial 2D

O escalar mantém o sinal: um resultado positivo indica que o segundo vetor gira no sentido anti-horário em relação ao primeiro; um resultado negativo indica giro horário; e zero significa que os vetores são paralelos ou que um deles é o vetor nulo. Informe os quatro componentes para obter um resultado exato e determinístico, adequado para geometria, mecânica, computação gráfica e testes de orientação.

O que o produto vetorial 2D com sinal representa

Em três dimensões, o produto vetorial é um vetor perpendicular aos dois vetores de entrada. Quando os vetores estão restritos a um plano, apenas o componente perpendicular é relevante; por isso, ele costuma ser apresentado como um escalar. Dados a = (a_x, a_y) e b = (b_x, b_y), esta calculadora avalia a_x b_y − a_y b_x. O valor absoluto corresponde à área do paralelogramo formado pelos vetores, enquanto o sinal registra a orientação entre eles. Um valor positivo indica que a rotação de a para b ocorre no sentido anti-horário, considerando a convenção cartesiana usual. Um valor negativo indica uma rotação horária. O resultado zero mostra que os vetores são linearmente dependentes, inclusive quando apontam na mesma direção, em direções opostas ou quando um deles tem comprimento zero. Como o sinal fornece informação geométrica importante, a calculadora não aplica valor absoluto ao resultado.

Como informar os componentes e interpretar o resultado

Informe os componentes horizontal e vertical do primeiro vetor em a_x e a_y. Depois, preencha os componentes correspondentes do segundo vetor em b_x e b_y. Os valores podem ser positivos, negativos ou iguais a zero, além de admitir casas decimais. A ordem dos vetores faz diferença: trocar a por b inverte o sinal da resposta, pois b_x a_y − b_y a_x é o oposto do determinante original. Essa antissimetria é útil para conferir uma rotina de orientação. Por exemplo, ao inverter os operandos, uma magnitude positiva deve virar uma magnitude negativa de mesmo tamanho. Quando os componentes dos vetores usam a mesma unidade física, o escalar fica em unidades ao quadrado: dois vetores medidos em metros geram um valor de área em metros quadrados. Componentes finitos muito grandes podem exceder a aritmética numérica comum; nesse caso, a calculadora rejeita o determinante, em vez de apresentar um infinito enganoso.

Como usar o determinante em geometria e computação

O determinante com sinal é uma peça compacta de muitos algoritmos planares. Na geometria computacional, ele permite classificar se um ponto está à esquerda ou à direita de uma reta orientada, formando dois vetores de deslocamento com a mesma origem. Rotinas de polígonos repetem produtos vetoriais com sinal para testar convexidade, ordenar pontos da borda e acumular área orientada. Na mecânica, a mesma expressão fornece o componente perpendicular do torque quando posição e força são representadas em duas dimensões. Programas gráficos e jogos usam esse cálculo para determinar o lado visível, a ordem dos vértices, a direção de uma manobra e em qual lado de uma aresta está um objeto. Se você precisa apenas da área física, use o valor absoluto da magnitude com sinal; para um triângulo que tenha os dois vetores como lados, divida esse valor por dois. Preserve o sinal quando a orientação importar, pois removê-lo elimina a diferença entre configurações horárias e anti-horárias.