2D-Kreuzprodukt-Rechner

Der Skalar behält sein Vorzeichen: Ein positives Ergebnis bedeutet eine Drehung vom ersten zum zweiten Vektor gegen den Uhrzeigersinn, ein negatives Ergebnis eine Drehung im Uhrzeigersinn. Null zeigt parallele Vektoren oder einen Nullvektor an. Geben Sie die vier Komponenten ein, um ein exaktes, deterministisches Ergebnis für Geometrie, Mechanik, Grafik und Orientierungstests zu erhalten.

Was das vorzeichenbehaftete 2D-Kreuzprodukt aussagt

In drei Dimensionen ist das Kreuzprodukt ein Vektor, der senkrecht auf beiden Eingangsvektoren steht. Sind die Vektoren auf eine Ebene beschränkt, ist nur die senkrechte Komponente von Bedeutung; deshalb wird sie üblicherweise als Skalar angegeben. Für a = (a_x, a_y) und b = (b_x, b_y) berechnet dieses Werkzeug a_x b_y − a_y b_x. Der Absolutwert entspricht der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, während das Vorzeichen ihre Orientierung festhält. Ein positiver Wert zeigt nach der üblichen kartesischen Konvention eine Drehung von a nach b gegen den Uhrzeigersinn an. Ein negativer Wert steht für eine Drehung im Uhrzeigersinn. Das Ergebnis null bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind: Sie weisen in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen, oder einer von ihnen hat die Länge null. Da das Vorzeichen wichtige geometrische Informationen enthält, bildet der Rechner bewusst nicht den Absolutwert des Ergebnisses.

Komponenten eingeben und das Ergebnis deuten

Tragen Sie die horizontale und vertikale Komponente des ersten Vektors in a_x und a_y ein. Geben Sie danach die entsprechenden Komponenten des zweiten Vektors in b_x und b_y an. Die Werte dürfen positiv, negativ oder null sein und Dezimalstellen enthalten. Die Reihenfolge der Vektoren ist entscheidend: Wenn Sie a und b vertauschen, kehrt sich das Vorzeichen um, denn b_x a_y − b_y a_x ist das Negative der ursprünglichen Determinante. Diese Antisymmetrie eignet sich zur Prüfung einer Orientierungslogik. Nach dem Vertauschen der Operanden muss beispielsweise aus einem positiven vorzeichenbehafteten Betrag ein gleich großer negativer Wert werden. Haben beide Vektoren dieselbe physikalische Einheit, besitzt der Skalar deren Quadrat: Zwei in Metern angegebene Vektoren ergeben einen flächenartigen Wert in Quadratmetern. Extrem große endliche Komponenten können den gewöhnlichen Zahlenbereich überschreiten. Dann weist der Rechner die Determinante zurück, statt eine irreführende Unendlichkeit auszugeben.

Die Determinante in Geometrie und Berechnungen nutzen

Die vorzeichenbehaftete Determinante ist ein kompakter Baustein vieler ebener Algorithmen. In der algorithmischen Geometrie lässt sich damit bestimmen, ob ein Punkt links oder rechts von einer gerichteten Geraden liegt. Dazu werden zwei Verschiebungsvektoren mit gemeinsamem Ursprung gebildet. Polygonverfahren verwenden wiederholt vorzeichenbehaftete Kreuzprodukte, um Konvexität zu prüfen, Randpunkte zu ordnen und orientierte Flächen aufzusummieren. In der Mechanik liefert derselbe Ausdruck die aus der Ebene herausweisende Komponente des Drehmoments, wenn Position und Kraft zweidimensional dargestellt werden. Computergrafik und Spiele nutzen ihn für Blickrichtung, Umlaufsinn, Lenkrichtung und die Feststellung, auf welcher Seite einer Kante ein Objekt liegt. Benötigen Sie nur die physikalische Fläche, verwenden Sie den Absolutwert des ausgegebenen vorzeichenbehafteten Betrags. Für ein Dreieck mit den beiden Vektoren als Seiten halbieren Sie diesen Wert. Behalten Sie das Vorzeichen bei, wenn die Orientierung wichtig ist, denn ohne Vorzeichen geht der Unterschied zwischen Anordnungen im und gegen den Uhrzeigersinn verloren.