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Scheitelpunktform in Normalform

Dieser Rechner entwickelt eine quadratische Funktion der Form a(x − h)² + k zur Normalform ax² + bx + c.

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Geben Sie den Leitkoeffizienten a und die Scheitelkoordinaten h und k ein. Das Werkzeug wendet das Distributivgesetz an, fasst die konstanten Terme zusammen und gibt a, b sowie c direkt aus. Damit können Sie algebraische Umformungen prüfen, eine Gleichung für die quadratische Lösungsformel vorbereiten oder zwischen zwei Darstellungen derselben Parabel wechseln.

Die Scheitelpunktform richtig lesen

Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform wird als a(x − h)² + k geschrieben. Der Wert a bestimmt Öffnungsrichtung und vertikale Streckung der Parabel; der Punkt (h, k) ist ihr Scheitel. Geben Sie h mit dem Vorzeichen seiner Koordinate ein und nicht bloß mit dem Zeichen in der Klammer. So gilt bei (x − 3)² der Wert h = 3. Dagegen entspricht (x + 3)² dem Ausdruck (x − (−3))², also ist h = −3. Der Leitkoeffizient a darf nicht null sein, weil sonst der quadratische Term entfällt. h und k dürfen hingegen null, positiv, negativ oder dezimal sein. Mit diesen drei Angaben ist die Umrechnung eindeutig bestimmt. Der Rechner liefert endliche numerische Koeffizienten, die Sie unmittelbar für weitere Rechnungen verwenden oder mit Ihrer eigenen Ausmultiplizierung vergleichen können.

So entstehen b und c beim Ausmultiplizieren

Die Umrechnung beginnt mit der Identität (x − h)² = x² − 2hx + h². Werden alle Terme mit a multipliziert, entsteht ax² − 2ahx + ah². Nach der Addition von k lautet der Ausdruck ax² − 2ahx + ah² + k. Der Vergleich mit ax² + bx + c zeigt: Der Leitkoeffizient bleibt a, außerdem gilt b = −2ah und c = ah² + k. Das Beispiel 2(x − 3)² − 5 wird zunächst zu 2(x² − 6x + 9) − 5, dann zu 2x² − 12x + 18 − 5 und schließlich zu 2x² − 12x + 13. Der Rechner wendet diese Identitäten unmittelbar an, statt eine frei formulierte Gleichung zu interpretieren. Dadurch entstehen keine Unklarheiten durch Hochstellungen, Multiplikationszeichen oder unterschiedliche Tastaturschreibweisen. Dezimalzahlen werden als gewöhnliche numerische Koeffizienten verarbeitet.

Das Ergebnis prüfen und weiterverwenden

Zur schnellen Kontrolle setzen Sie x = h in die berechnete Normalform ein. Da h die horizontale Koordinate des Scheitels ist, muss ah² + bh + c gleich k sein. Sie können auch beide Ausgangsformen für einen beliebigen x-Wert auswerten. Stimmen die Werte überein, beschreiben beide Ausdrücke dieselbe Parabel. Die Normalform eignet sich besonders, um das konstante Glied abzulesen, die quadratische Lösungsformel anzuwenden, die Diskriminante b² − 4ac zu berechnen, Polynome zu addieren oder Koeffizienten zu vergleichen. Die Scheitelpunktform zeigt dagegen Scheitel und Symmetrieachse deutlicher. Keine Darstellung ist grundsätzlich besser; beide heben unterschiedliche Eigenschaften hervor. Bewahren Sie die ausgegebenen Werte a, b und c gemeinsam auf, auch wenn ein Koeffizient null ist. Bei b = 0 wird das mittlere Glied meist weggelassen, sein Koeffizient bleibt dennoch vorhanden.

Anwendungsfälle

Eine Schulaufgabe kontrollieren

Vergleichen Sie Ihre ausmultiplizierten Terme mit den berechneten Koeffizienten a, b und c.

Die Lösungsformel vorbereiten

Erzeugen Sie die Koeffizientenform für die Diskriminante und die quadratische Lösungsformel.

Zwei Parabeln vergleichen

Wandeln Sie die Scheitelpunktform um, damit Sie die Koeffizienten direkt gegenüberstellen können.

Häufige Fragen

Welche Formel führt von der Scheitelpunktform zur Normalform?

Für a(x − h)² + k lauten die Koeffizienten a = a, b = −2ah und c = ah² + k.

Wie gebe ich (x + h)² ein?

Behandeln Sie das Pluszeichen als Subtraktion einer negativen Koordinate. Bei (x + 4)² gilt beispielsweise h = −4.

Darf a gleich null sein?

Nein. Bei a = 0 verschwindet der quadrierte Term und der Ausdruck ist nicht mehr quadratisch.

Sind negative Werte und Dezimalzahlen zulässig?

Ja. a, h und k dürfen endliche negative oder dezimale Zahlen sein, sofern a nicht null ist.

Was kostet eine API-Anfrage?

Jede API-Anfrage kostet $0.002. Der Rechner im Browser kann auf dieser Seite kostenlos genutzt werden.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"h":3,"k":-5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"h":3,"k":-5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"h":3,"k":-5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 2,
  "h": 3,
  "k": -5
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.quadratic_from_vertex_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

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