Mittelpunkt von Polarkoordinaten berechnen

Er wandelt beide Polarpunkte in kartesische Koordinaten um, mittelt die zwei horizontalen sowie die zwei vertikalen Koordinaten und überführt diesen Mittelwert anschließend zurück in die Polarform. Sie erhalten beide Darstellungen und können das Ergebnis dadurch leicht prüfen oder weiterverwenden. Wählen Sie für die gesamte Berechnung einmal Grad oder Radiant; der ausgegebene Winkel verwendet dieselbe Einheit.

Geben Sie zwei Polarpunkte in derselben Winkeleinheit ein

Beschreiben Sie den ersten Punkt mit radius_1 und angle_1 und danach den zweiten mit radius_2 und angle_2. Beide Radien müssen größer oder gleich null sein; Winkel dürfen dagegen positiv, negativ oder größer als eine vollständige Umdrehung sein. Wählen Sie Grad, wenn die Winkel auf einem Kreis mit 360 Grad gemessen werden, oder Radiant bei einer Messung auf einem Kreis mit 2π Radiant. Dieselbe Auswahl gilt für beide Eingaben und verhindert eine mehrdeutige Mischung der Einheiten. Ein Polarradius bezeichnet den Abstand vom Ursprung. Ein negativer Radius wird deshalb abgelehnt und nicht unbemerkt als Richtungswechsel um eine halbe Umdrehung interpretiert. Winkel werden ansonsten unverändert akzeptiert, da trigonometrische Funktionen koterminale Werte als dieselbe Richtung behandeln. Beispielsweise weisen 30 Grad, 390 Grad und -330 Grad auf denselben Strahl. Hat ein Punkt den Radius null, beeinflusst sein angegebener Winkel die Lage nicht. Dennoch muss er eine endliche Zahl sein, damit der Eingabevertrag eindeutig und vorhersehbar bleibt.

Warum die kartesische Mittelung erforderlich ist

Ein geometrischer Mittelpunkt entsteht durch das Mitteln von Positionen, nicht durch getrennte Mittelwerte der Polarradien und Winkel. Polarkoordinaten sind nicht linear: Winkel springen am Ende einer Umdrehung zum Anfang zurück, und eine Radiusänderung beeinflusst, wie stark eine Richtung zur tatsächlichen Position beiträgt. Der Rechner wendet zunächst x = r cos θ und y = r sin θ auf jeden Punkt an. Danach berechnet er die Mittelpunktkoordinaten als x = (x₁ + x₂) / 2 und y = (y₁ + y₂) / 2. Erst nach dieser linearen Mittelung ermittelt er den Radius über den Satz des Pythagoras als Abstand zum Ursprung und den Winkel mit dem Arkustangens aus zwei Argumenten. Dieser Unterschied ist in der Nähe der Winkelgrenze entscheidend. Zwei gleich weit entfernte Punkte bei 350 Grad und 10 Grad haben ihren Mittelpunkt auf der positiven horizontalen Achse, nicht bei 180 Grad, obwohl ein naiver arithmetischer Mittelwert der notierten Winkel in die Gegenrichtung weist. Die kartesische Umrechnung löst diesen Übergang automatisch und verarbeitet auch unterschiedliche Radien korrekt.

Lesen und verwenden Sie das normierte Ergebnis weiter

Die Antwort enthält x und y für den kartesischen Mittelpunkt sowie radius, angle und angle_unit für dessen Polarform. Der Winkel wird auf eine nichtnegative vollständige Umdrehung normiert: im Gradmodus von null bis ausschließlich 360, im Radiantmodus von null bis ausschließlich 2π. Ergebnisse lassen sich dadurch auch dann gut vergleichen, wenn die Eingabewinkel negativ oder über mehrere Umdrehungen notiert sind. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, ist sein Radius null und es gibt keine geometrische Richtung. Der Rechner gibt vereinbarungsgemäß den Winkel null zurück, damit das JSON endlich, deterministisch und für nachgelagerte Systeme praktisch bleibt. Numerische Felder werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet. Dies unterdrückt unbedeutende Gleitkommaartefakte, ohne die für übliche geometrische Aufgaben nützliche Genauigkeit einzuschränken. Da beide Koordinatenformen ausgegeben werden, können Sie x und y unmittelbar in einer Zeichnung oder Vektorrechnung einsetzen oder Radius und Winkel an eine weitere Polaroperation übergeben, ohne die Umrechnung erneut auszuführen.