Dreieck aus Schenkel und Spitzenwinkel berechnen

Er liefert die Basislänge, die beiden gleichen Basiswinkel, die senkrechte Höhe und den Flächeninhalt. Dazu wird die Figur in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt; dadurch sind die Halbwinkelformeln unmittelbar nachvollziehbar. Sie können jede einheitlich verwendete Längeneinheit eingeben. Die ausgegebenen Längen behalten diese Einheit bei, der Flächeninhalt verwendet deren Quadrat.

Zerlegen Sie das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke

Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Schenkel; zwischen ihnen liegt der Spitzenwinkel. Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt die Höhe auf die Basis. Bei dieser Dreiecksform ist die Höhe zugleich Seitenhalbierende und Winkelhalbierende. Sie teilt das ursprüngliche Dreieck daher in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. In jedem davon ist der eingegebene Schenkel die Hypotenuse. Oben liegt der halbe Spitzenwinkel, unten die halbe noch unbekannte Basis, und die gesuchte Höhe bildet die zweite Kathete. Aus dieser Konstruktion folgt die gesamte Rechnung. Bezeichnen L die Schenkellänge und A den Spitzenwinkel in Grad, beträgt der halbe Winkel A/2. Die halbe Basis ist L mal sin(A/2), die Höhe L mal cos(A/2). Durch Verdoppeln der halben Basis entsteht die vollständige Basis. Da jeder Schritt auf einer Beziehung im rechtwinkligen Dreieck beruht, muss eine Zeichnung nicht maßstabsgerecht sein. Es gibt außerdem weder eine iterative Näherung noch einen mehrdeutigen Dreiecksfall. Der Fußpunkt der Höhe ist aufgrund der Symmetrie eindeutig der Mittelpunkt der Basis.

So werden alle ausgegebenen Größen berechnet

Der Rechner wandelt zunächst den halben Spitzenwinkel von Grad in Bogenmaß um, damit die trigonometrischen Funktionen angewendet werden können. Die vollständige Basis ergibt sich als 2L sin(A/2), die Höhe als L cos(A/2). Weil die beiden Schenkel gleich lang sind, stimmen auch die beiden Basiswinkel überein. Da die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben, beträgt jeder Basiswinkel (180 − A)/2. Abschließend wird der Flächeninhalt als Hälfte des Produkts aus vollständiger Basis und senkrechter Höhe berechnet. Dies entspricht der Hälfte von L zum Quadrat mal sin(A). Die Verwendung der bereits berechneten Basis und Höhe hält die ausgegebenen Werte jedoch unmittelbar miteinander verknüpft. Die Ergebnisse werden lediglich auf eine stabile Gleitkommagenauigkeit begrenzt, nicht auf eine feste Anzahl von Nachkommastellen. Schenkel, Basis und Höhe verwenden dieselbe gewählte Einheit. Geben Sie Zentimeter ein, werden diese drei Längen in Zentimetern und die Fläche in Quadratzentimetern ausgegeben. Winkel erscheinen stets in Grad.

Gültige Eingaben und extreme Formen richtig einordnen

Geben Sie eine endliche Schenkellänge größer als null sowie einen Spitzenwinkel strikt zwischen 0 und 180 Grad ein. Die Grenzwerte sind ausgeschlossen, weil das Dreieck dort entartet: Bei null Grad liegen die Schenkel übereinander, bei 180 Grad wird die Höhe null und die Seiten bilden eine gerade Strecke. Winkel sehr nahe an einer Grenze sind mathematisch zulässig, beschreiben aber sehr schmale Dreiecke. Nahe null Grad werden Basis und Fläche klein, während sich die Höhe der Schenkellänge annähert. Nahe 180 Grad nähert sich die Basis der doppelten Schenkellänge; Höhe und Fläche gehen dagegen gegen null. Anhand dieser Entwicklungen können Sie ein Ergebnis gut auf Plausibilität prüfen. Der Rechner weist keine physikalischen Einheiten zu und nimmt keine Umrechnung vor. Deuten Sie deshalb sämtliche Längen einheitlich. Geben Sie nicht den Schenkel in Metern ein, wenn Sie eine Basis in Zentimetern erwarten. Behalten Sie für Bau oder Fertigung genügend Stellen für die erforderliche Toleranz und runden Sie projektspezifisch erst nach der geometrischen Berechnung. Die API kostet $0.002 pro Berechnung.