Calculadora de asíntotas verticales de funciones racionales

Introduzca cada polinomio mediante coeficientes en orden descendente. La calculadora obtiene los ceros reales del denominador, compara sus multiplicidades con las del numerador y excluye los factores que se cancelan por completo. El resultado incluye ecuaciones listas para usar, como x = 2, y detalles de multiplicidad que explican cada decisión.

Introduzca la función racional como listas de coeficientes

Represente por separado el numerador y el denominador, con los coeficientes desde la mayor potencia de x hasta el término independiente. Por ejemplo, x al cuadrado menos x menos 2 se escribe [1, -1, -2], mientras que x más 1 se escribe [1, 1]. Incluya ceros cuando falten potencias: x al cubo menos 4x debe introducirse como [1, 0, -4, 0]. Esta convención elimina ambigüedades de signos, potencias, productos y paréntesis, por lo que la misma entrada funciona de forma fiable en el navegador y mediante la API. El denominador no puede ser constante y su primer coeficiente debe ser distinto de cero. Ambas listas admiten números finitos y polinomios de grado máximo doce, suficientes para los ejercicios habituales de secundaria, universidad y preprocesamiento simbólico. No hace falta factorizar antes los polinomios. La calculadora aísla las raíces reales y analiza las cancelaciones directamente desde los coeficientes. Si la expresión contiene decimales, introdúzcalos como números JSON normales; el resultado se presenta de forma estable y legible sin alterar la prueba matemática de la asíntota.

Comprenda por qué los ceros cancelados no son asíntotas

Una asíntota vertical aparece en un cero real del denominador solo cuando queda al menos una copia de ese factor después de cancelar los factores comunes. Suponga que tanto el numerador como el denominador contienen una vez x menos 3. La expresión original no está definida en x = 3, pero la cancelación deja un hueco removible, no una asíntota vertical. La multiplicidad es importante cuando un factor se repite. Si el denominador contiene (x menos 3) al cuadrado y el numerador contiene x menos 3 una vez, queda una copia bajo la barra de fracción; por ello, x = 3 sigue siendo una asíntota vertical. La calculadora no se limita a comprobar si el numerador vale cero en cada raíz del denominador. Determina cuántas veces aparece la raíz en ambos polinomios, cancela la menor multiplicidad y conserva la recta vertical solo si la multiplicidad del denominador es mayor. Los ceros eliminados por completo aparecen en cancelled_zeros, mientras que los supervivientes se muestran en vertical_asymptotes y en la lista breve equations. Las raíces no reales no representan rectas verticales en una gráfica real y se omiten.

Interprete y utilice las rectas verticales obtenidas

La lista equations ofrece la respuesta más directa: cada elemento es una ecuación de recta vertical con la forma x = a. El campo count indica cuántas asíntotas verticales distintas se encontraron. Para una comprobación detallada, cada registro de vertical_asymptotes incluye la coordenada numérica x, la ecuación, la multiplicidad original de la raíz en el denominador y la multiplicidad eliminada por cancelación. Un cancelled_multiplicity igual a cero significa que el numerador no eliminó ese factor. Un valor positivo indica que hubo cancelación, pero sobrevivió al menos una copia en el denominador. La lista independiente cancelled_zeros registra las raíces que desaparecieron totalmente del denominador reducido y permite distinguir los huecos de las asíntotas. Una lista equations vacía es un resultado matemático válido: significa que el denominador no tiene ceros reales o que todos se cancelaron por completo. Los programas de trazado, sistemas didácticos y correctores pueden usar directamente los valores numéricos de x, mientras que las fichas y explicaciones pueden mostrar las ecuaciones. El algoritmo es determinista, no usa la red y devuelve siempre el mismo resultado para los mismos coeficientes.