Calculadora de frações egípcias

Ela usa o algoritmo guloso de Fibonacci–Sylvester, que sempre termina e garante denominadores diferentes. Envie dois inteiros positivos e receba a expansão, o número de termos e a parte inteira quando a fração é imprópria. O mesmo código roda grátis no seu navegador nesta página e custa US$ 0,002 por requisição quando você chama a API.

O que é uma fração egípcia e por que ela ainda importa

A matemática do Egito antigo evitava quase totalmente as frações gerais. Em vez de escrever 3/4, um escriba registrava 1/2 + 1/4: uma soma de frações unitárias, todas com numerador um e denominadores distintos. O papiro Rhind começa com uma longa tabela que faz exatamente isso para frações da forma 2/n, porque tabelas de expansões em frações unitárias eram a ferramenta de cálculo do dia a dia na época. Hoje a ideia é mais do que uma curiosidade: expansões em frações unitárias aparecem em teoria dos números, em problemas de divisão justa, no ensino de equivalência de frações e na matemática recreativa. A calculadora de frações egípcias reproduz essa decomposição instantaneamente para qualquer racional positivo que você informar. Você fornece um numerador e um denominador, ambos inteiros positivos, e o serviço devolve a lista de denominadores distintos, a expansão escrita como soma, a contagem de termos e uma parte inteira separada quando a fração é maior que um. A fração é primeiro reduzida aos menores termos para que a expansão seja canônica: 2/4 e 3/6 expandem como 1/2, o que mantém os resultados estáveis e comparáveis independentemente de como a entrada foi escrita.

Como o algoritmo guloso constrói a expansão

O motor usa o método guloso frequentemente atribuído a Fibonacci e estudado por Sylvester. A cada passo ele toma a maior fração unitária que não excede o que resta: se o resto é n/d, o próximo termo é 1/ceil(d/n). Subtraindo esse termo sobra n*ceil(d/n) − d sobre d*ceil(d/n), e o novo numerador é estritamente menor que o anterior, portanto o processo sempre termina em no máximo n passos. Um efeito agradável é que cada denominador escolhido é maior que o anterior, de modo que a distinção é garantida pela construção, em vez de verificada depois. A implementação trabalha com inteiros de precisão arbitrária, então valores de até um trilhão são tratados com exatidão, sem nenhum arredondamento de ponto flutuante no cálculo. Há um limite declarado para o número de termos, e entradas que o excederiam são rejeitadas com um erro claro, em vez de rodar sem limite. Como a expansão é determinística, a mesma entrada sempre retorna uma saída idêntica byte a byte, o que torna o serviço seguro para cache e para integração em pipelines que comparam resultados.

Como ler a saída e tratar os casos-limite

A resposta traz a expansão reduzida junto com as entradas originais, para que um cliente possa registrar exatamente o que foi decomposto. O campo unit_fractions contém os denominadores em ordem crescente, expansion os apresenta como uma soma legível, por exemplo 1/2 + 1/11 + 1/111 + 1/1221, e count é simplesmente o número de termos. Quando a fração é imprópria, a parte inteira é devolvida separadamente em whole e as frações unitárias expandem apenas o resto fracionário, porque a notação egípcia clássica mantinha os números inteiros fora da soma. A validação é rigorosa de propósito: o denominador zero é rejeitado, valores não inteiros como 2.5 ou 1/2 escrito como texto são rejeitados, e entradas negativas são rejeitadas, cada uma com uma mensagem que nomeia o campo responsável. Chamar a API custa US$ 0,002 por requisição, e o mesmo algoritmo roda grátis no widget do navegador nesta página, então você pode explorar de forma interativa e pagar apenas quando automatizar. Tudo é calculado na hora e nada do que você envia é armazenado depois que a resposta é produzida.