Ägyptische Brüche Rechner

Er verwendet den Greedy-Algorithmus von Fibonacci–Sylvester, der stets terminiert und unterschiedliche Nenner garantiert. Senden Sie zwei positive ganze Zahlen und erhalten Sie die Entwicklung, die Anzahl der Terme und den ganzzahligen Anteil, wenn der Bruch unecht ist. Derselbe Code läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite und kostet $0.002 pro Anfrage, wenn Sie die API aufrufen.

Was ein ägyptischer Bruch ist und warum er noch immer wichtig ist

Die Mathematik des alten Ägyptens vermied allgemeine Brüche fast vollständig. Statt 3/4 zu schreiben, notierte ein Schreiber 1/2 + 1/4: eine Summe von Stammbrüchen, alle mit dem Zähler eins und verschiedenen Nennern. Der Papyrus Rhind beginnt mit einer langen Tabelle, die genau dies für Brüche der Form 2/n leistet, denn Tabellen von Stammbruchentwicklungen waren das alltägliche Rechenwerkzeug der Zeit. Heute ist die Idee mehr als eine Kuriosität: Stammbruchentwicklungen tauchen in der Zahlentheorie auf, bei fairen Teilungsproblemen, im Unterricht über Bruchgleichwertigkeit und in der Unterhaltungsmathematik. Der Rechner für ägyptische Brüche reproduziert diese Zerlegung sofort für jede positive rationale Zahl, die Sie eingeben. Sie geben einen Zähler und einen Nenner an, beide positive ganze Zahlen, und der Dienst liefert die Liste der verschiedenen Nenner, die als Summe ausgeschriebene Entwicklung, die Termanzahl und einen separaten ganzzahligen Anteil, wenn der Bruch größer als eins ist. Der Bruch wird zuerst gekürzt, damit die Entwicklung kanonisch ist: 2/4 und 3/6 werden beide zu 1/2 entwickelt, was die Ergebnisse stabil und vergleichbar hält, unabhängig davon, wie die Eingabe geschrieben war.

Wie der Greedy-Algorithmus die Entwicklung aufbaut

Der Kern verwendet die Greedy-Methode, die oft Fibonacci zugeschrieben und von Sylvester untersucht wurde. In jedem Schritt nimmt er den größten Stammbruch, der den Rest nicht übersteigt: Ist der Rest n/d, ist der nächste Term 1/ceil(d/n). Nach dem Abziehen dieses Terms bleibt n*ceil(d/n) − d über d*ceil(d/n), und der neue Zähler ist strikt kleiner als der alte, sodass das Verfahren stets in höchstens n Schritten endet. Ein angenehmer Nebeneffekt ist, dass jeder gewählte Nenner größer ist als der vorherige, sodass die Verschiedenheit konstruktionsbedingt garantiert ist statt nachträglich geprüft zu werden. Die Implementierung rechnet mit Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit, sodass Werte bis zu einer Billion exakt verarbeitet werden, ganz ohne Gleitkomma-Rundung in der Berechnung. Es gibt eine deklarierte Obergrenze für die Anzahl der Terme, und Eingaben, die sie überschreiten würden, werden mit einem klaren Fehler abgelehnt, statt unbegrenzt zu laufen. Da die Entwicklung deterministisch ist, liefert dieselbe Eingabe stets eine Byte für Byte identische Ausgabe, was den Dienst sicher für Caching und für Pipelines macht, die Ergebnisse vergleichen.

Die Ausgabe lesen und Grenzfälle behandeln

Die Antwort enthält die gekürzte Entwicklung zusammen mit den ursprünglichen Eingaben, sodass ein Client genau protokollieren kann, was zerlegt wurde. Das Feld unit_fractions enthält die Nenner in aufsteigender Reihenfolge, expansion stellt sie als lesbare Summe dar, etwa 1/2 + 1/11 + 1/111 + 1/1221, und count ist schlicht die Anzahl der Terme. Bei unechten Brüchen wird der ganzzahlige Anteil separat in whole zurückgegeben, und die Stammbrüche entwickeln nur den gebrochenen Rest, weil die klassische ägyptische Schreibweise ganze Zahlen außerhalb der Summe hielt. Die Validierung ist absichtlich streng: Der Nenner null wird abgelehnt, nicht ganzzahlige Werte wie 2.5 oder 1/2 als Text werden abgelehnt, und negative Eingaben werden abgelehnt, jeweils mit einer Meldung, die das verantwortliche Feld nennt. Ein Aufruf der API kostet $0.002 pro Anfrage, und derselbe Algorithmus läuft kostenlos im Browser-Widget auf dieser Seite, sodass Sie interaktiv ausprobieren können und nur zahlen, wenn Sie automatisieren. Alles wird bei Bedarf berechnet, und nichts von dem, was Sie senden, wird nach der Antwort gespeichert.