Calculadora de iteração de funções

Informe uma expressão em x, escolha x_0 e determine quantas iterações deseja executar. O resultado inclui o valor inicial, cada saída sucessiva e o valor final. Assim, você pode estudar relações de recorrência, pontos fixos, ciclos, convergência, divergência e os primeiros passos de sistemas dinâmicos simples sem calcular cada substituição manualmente.

Informe a função e o valor inicial

Escreva a regra como uma expressão em x, por exemplo x^2 - 1, cos(x) ou 0.5*x + 3. A calculadora aceita parênteses, números decimais e em notação científica, os operadores +, -, *, / e ^, além das constantes pi e e. As funções de um argumento disponíveis incluem abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, floor, ceil e round. A multiplicação precisa ser explícita: escreva 2*x, e não 2x. Em seguida, forneça um valor real finito como ponto de partida. Esse valor é x_0, o primeiro elemento da órbita, e não o resultado da primeira aplicação. Por fim, escolha de zero a mil iterações. O valor zero devolve apenas o ponto inicial e ajuda a confirmar se a entrada foi interpretada corretamente. As expressões são analisadas como matemática, nunca executadas como código; nomes, sintaxes ou operações fora da gramática documentada geram um erro de entrada claro.

Leia a órbita na ordem correta

Se a regra informada for f e o valor inicial for x_0, a calculadora obtém x_1 = f(x_0), depois x_2 = f(x_1), e continua até x_n. Portanto, o array orbit contém n + 1 valores: o inicial no índice zero e, na sequência, um valor para cada aplicação solicitada. O campo final_value repete o último elemento para facilitar o uso em scripts, enquanto iterations registra quantas aplicações foram pedidas. Essa distinção evita um erro comum de contagem. Por exemplo, três iterações não devolvem três pontos no total, mas x_0, x_1, x_2 e x_3. Os valores são normalizados para quinze algarismos significativos, reduzindo resíduos incômodos da representação binária em ponto flutuante sem eliminar a precisão útil. A normalização não transforma iteração numérica em álgebra simbólica, e o arredondamento pode afetar sistemas extremamente sensíveis após muitas etapas. Considere órbitas caóticas longas como aproximações numéricas, principalmente quando valores iniciais próximos se afastam rapidamente.

Interprete convergência, ciclos e falhas

Valores sucessivos frequentemente revelam o comportamento qualitativo de uma recorrência. Quando as últimas entradas se estabilizam perto de um número, ele pode ser um ponto fixo atrativo: sua substituição na função produz aproximadamente o mesmo valor. A alternância entre poucos valores recorrentes sugere um ciclo, enquanto magnitudes em crescimento contínuo podem indicar divergência. Uma lista finita não prova sozinha nenhum desses comportamentos, mas oferece indícios e um ponto de partida prático para a análise. Compare órbitas de vários valores iniciais próximos ao investigar estabilidade. A calculadora para com um erro de entrada se alguma operação produzir Infinity ou NaN, como pode ocorrer após divisão por zero, raiz quadrada de número negativo ou logaritmo inválido. O erro identifica a iteração em que a órbita real deixou de existir. Limites fixos para o tamanho da expressão e a quantidade de iterações mantêm previsível a execução no navegador e via API. Sem rede, aleatoriedade, relógio ou estado oculto, entradas válidas idênticas sempre geram a mesma saída.