حاسبة المعادلات التفاضلية القابلة للفصل

أدخلوا الثابت k والشرط الابتدائي y(x0) = y0 والنقطة التي تريدون حساب الحل عندها. تفصل الحاسبة المتغيرات، وتحدد العائلة الأسية العامة، وتطبق الشرط الابتدائي، ثم تعيد قيمة عددية مستقرة عند النقطة المطلوبة. وهي مفيدة للتحقق من التمارين ولنمذجة الكميات التي يتناسب معدل تغيرها اللحظي مع مقدارها الحالي.

تعرّفوا إلى المعادلة القياسية القابلة للفصل

صُممت الحاسبة للمعادلة الشائعة dy/dx = ky، حيث يكون k ثابتًا حقيقيًا. تظهر هذه المعادلة كلما تغيرت كمية بمعدل يتناسب مع قيمتها الحالية؛ ومن أمثلتها نمو السكان غير المقيد، والاضمحلال الإشعاعي، والأرصدة ذات الفائدة المركبة المستمرة، والإزالة من الرتبة الأولى، وفروق التبريد المثالية. وهي قابلة للفصل لأن كل عامل يتضمن y يمكن نقله إلى جانب، وكل عامل يتضمن x إلى الجانب الآخر، فنحصل على dy/y = k dx عندما لا تساوي y صفرًا. ويظل الحل الصفري محفوظًا من خلال الشرط الابتدائي y0 = 0. يتيح هذا الشكل المحدد جوابًا دقيقًا وحتميًا، وليس تقريبًا عدديًا بخطوات. أدخلوا k مباشرة، بما في ذلك قيمة سالبة للاضمحلال أو صفر لحل ثابت، ثم أدخلوا x0 وy0 بوصفهما النقطة المعروفة على منحنى الحل. لا تقبل الحاسبة تعبير مشتقة اعتباطيًا، أو معاملات متغيرة، أو حدودًا قسرية، أو معادلات لا تأخذ هذا الشكل إلا بعد تعويض معقد.

من فصل المتغيرات إلى الحل الخاص

ينتج من تكامل المعادلة المفصولة ln|y| = kx مضافًا إليه ثابت تكامل. وعند أخذ الأس، يُدمج كل من الإشارة والعامل الأسي الموجب في ثابت اعتباطي واحد C، فتكون العائلة العامة y = C exp(kx). ويؤدي تطبيق y(x0) = y0 إلى C = y0 exp(-kx0). ويمكن كتابة النتيجة نفسها بصورة أوضح على هيئة y(x) = y0 exp(k(x - x0))، وهو الحل الخاص الذي تعرضه الأداة. يفيد هذا الشكل المزاح لأن تعويض x0 يجعل العامل الأسي يساوي واحدًا فورًا ويعيد y0، كما يجنب عرض قيمة قد تكون غير مريحة للثابت C بصورة منفصلة. إذا كانت y0 تساوي صفرًا، تعيد الصيغة حل الاتزان y = 0 بصورة صحيحة، رغم أن القسمة على y أثناء الفصل الشكلي قد تستبعده. تعرض الحاسبة خطوة الفصل والعائلة العامة والصيغة الخاصة والحساب العددي حتى تتمكنوا من متابعة الاستدلال. تستخدم الحسابات أعداد JavaScript ذات الفاصلة العائمة، ثم يُقرّب العرض وفق الدقة التي تختارونها.

احسبوا الحل وفسّروا النتيجة

اختاروا قيمة x المستهدفة بصورة مستقلة عن النقطة الابتدائية؛ فقد تكون قبل x0 أو مساوية لها أو بعدها. تحسب الأداة الأس عديم الأبعاد k(x - x0)، ثم تحسب الدالة الأسية وتضربها في y0 وتقرّب النتيجة المعروضة من صفر إلى خمس عشرة منزلة عشرية. تجعل قيمة k الموجبة مقدار الحل ينمو مع زيادة x، بينما تجعله القيمة السالبة يتناقص نحو الصفر. أما الرجوع من x0 فيعكس هذين الاتجاهين. يرث أي حل غير صفري إشارته من y0 لأن العامل الأسي موجب دائمًا، ولذلك لا يعبر هذا النموذج الصفر. تحققوا من اتساق الوحدات: إذا قيس x بالساعات، فيجب أن تكون وحدة k معكوس الساعة، وتحافظ y الناتجة على وحدة y0. قد تتجاوز الأسس الكبيرة جدًا المجال العددي المحدود؛ عندئذ ترفض الحاسبة الحالة بدلًا من إرجاع ما لا نهاية بصورة مضللة. استخدموا الصيغة الدقيقة للتحليل والقيمة المحسوبة لتنبؤ أو تحقق محدد. أما الدوال القابلة للفصل الاعتباطية f(x)g(y) فتحتاج إلى تكامل رمزي إضافي وتقع خارج نطاق هذه الحاسبة المحدد عمدًا.