Calcolatore di equazioni differenziali separabili

Inserisca la costante k, una condizione iniziale y(x0) = y0 e il punto nel quale desidera valutare la soluzione. Il calcolatore separa le variabili, individua la famiglia esponenziale generale, applica la condizione iniziale e restituisce un valore numerico stabile nel punto richiesto. È utile per controllare esercizi e modellare quantità la cui velocità istantanea di variazione è proporzionale al valore corrente.

Riconosca l’equazione separabile standard

Il calcolatore è progettato per la comune equazione dy/dx = ky, dove k è una costante reale fissa. Essa compare quando una quantità cambia a una velocità proporzionale al proprio valore presente: crescita demografica illimitata, decadimento radioattivo, saldi a capitalizzazione continua, rimozione del primo ordine e differenze di raffreddamento idealizzate sono esempi noti. L’equazione è separabile perché ogni fattore contenente y può essere spostato da un lato e ogni fattore contenente x dall’altro, ottenendo dy/y = k dx quando y è diverso da zero. Anche la soluzione nulla viene conservata attraverso la condizione iniziale y0 = 0. Questa forma mirata rende la risposta esatta e deterministica, non un’approssimazione numerica a passi. Inserisca direttamente k, anche con valore negativo per il decadimento o zero per una soluzione costante. Fornisca quindi x0 e y0 come punto noto sulla curva della soluzione. Il risolutore non accetta espressioni arbitrarie della derivata, coefficienti variabili, termini forzanti o equazioni che assumono questa forma soltanto dopo una sostituzione complessa.

Dalla separazione alla soluzione particolare

Integrando l’equazione separata si ottiene ln|y| = kx più una costante di integrazione. Con l’esponenziazione, il segno e il fattore esponenziale positivo vengono assorbiti in un’unica costante arbitraria C, quindi la famiglia generale è y = C exp(kx). Applicando y(x0) = y0 si determina C = y0 exp(-kx0). Lo stesso risultato si scrive più chiaramente come y(x) = y0 exp(k(x - x0)), cioè la soluzione particolare restituita dallo strumento. Questa forma traslata è comoda perché, sostituendo x0, l’esponenziale vale subito uno e si recupera y0. Evita inoltre di mostrare separatamente un valore di C potenzialmente scomodo. Se y0 è zero, la formula restituisce correttamente la soluzione di equilibrio y = 0, benché la divisione per y durante la separazione informale la escluderebbe. Il calcolatore riporta il passaggio di separazione, la famiglia generale, la formula particolare e la valutazione affinché Lei possa seguire il ragionamento. Tutti i calcoli usano l’aritmetica in virgola mobile di JavaScript, seguita dall’arrotondamento di visualizzazione alla precisione scelta.

Valuti la soluzione e interpreti il risultato

Scelga il valore obiettivo x indipendentemente dal punto iniziale: può precedere x0, coincidere con esso o seguirlo. Il risolutore calcola l’esponente adimensionale k(x - x0), valuta l’esponenziale, moltiplica per y0 e arrotonda il risultato mostrato da zero a quindici cifre decimali. Un k positivo fa crescere il valore assoluto all’aumentare di x, mentre un k negativo lo fa decadere verso zero. Procedere all’indietro da x0 inverte queste tendenze. Il segno di una soluzione non nulla deriva da y0, poiché un fattore esponenziale è sempre positivo; pertanto il modello non attraversa mai lo zero. Verifichi la coerenza delle unità: se x è misurato in ore, k deve avere unità di ore inverse e l’uscita y mantiene le unità di y0. Esponenti estremamente grandi possono superare l’intervallo numerico finito; il calcolatore rifiuta tali casi invece di restituire un infinito fuorviante. Usi la formula esatta per l’analisi e il valore calcolato per una previsione o una verifica specifica. Funzioni separabili arbitrarie f(x)g(y) richiedono un’ulteriore integrazione simbolica e non rientrano nell’ambito volutamente limitato del calcolatore.