حاسبة عدد الشرط

يخبرك هذا الرقم الواحد بمقدار ما يمكن أن يتضخم به خطأ صغير في بياناتك — تقريب، أو ضجيج قياس، أو معامل مقطوع — عند حل نظام خطي أو قلب المصفوفة. فعدد الشرط القريب من 1 يعني أن المسألة مستقرة، أما الكبير فيحذّر من أن إجابتك قد تكون مسيطرًا عليها بالضجيج. ويُجرى الحساب في تمريرة واحدة حتمية: تُتحقَّق المصفوفة، ويُكوَّن حاصل A-منقول-A، وتُستخرج قيمه الذاتية بتكرار جاكوبي التقليدي، وتكون جذورها التربيعية هي القيم المفردة.

ما الذي يقيسه عدد الشرط فعلًا

عندما تحل نظامًا Ax = b عدديًا، فإنك نادرًا ما تعمل مع A و b الدقيقتين. فالمعاملات آتية من قياسات، أو من حسابات سابقة، أو من مدخلات عشرية قُرِّبت في الطريق. وعدد الشرط لـ A هو معامل تضخيم ذلك الغموض في أسوأ الحالات: فإذا تغيّر المدخل بمقدار نسبي إبسيلون، جاز أن يتغير الحل بما يصل إلى كابا مرة من إبسيلون. فمع كابا = 10، قد يُنتج خطأ بنسبة واحد في المئة في بياناتك خطأ بنسبة عشرة في المئة في الإجابة. ومع كابا = 1,000,000، قد تفقد ستًا من نحو ست عشرة خانة عشرية يتسع لها العدد ذو الدقة المزدوجة. وعدد الشرط في المعيار الثاني المحسوب هنا، كابا_2، يُعرَّف عبر القيم المفردة لـ A: فأكبر قيمة مفردة سيجما_max تقيس أقصى ما تستطيع المصفوفة تمديد متجه به، وأصغر قيمة مفردة سيجما_min تقيس أقصى ما تستطيع تقليصه به، ونسبتهما هي كابا_2. والمصفوفة المتعامدة كالدوران لها كابا_2 يساوي 1 تمامًا — وهو أفضل ما يمكن. أما المصفوفة ذات الصفوف التابعة خطيًا فلها سيجما_min = 0 وكابا_2 لا نهائي، ولهذا ترفض هذه القدرة المصفوفات المفردة بدل طباعة رقم ضخم لا معنى له.

كيف يُحسب الرقم هنا

الخوارزمية حتمية ومكتفية ذاتيًا، بلا أي مكتبة عددية خارجية. أولًا يُطبَّع مدخلك: يمكن إرسال المعاملات كمصفوفة من الصفوف أو كنص عادي تفصل بين صفوفه فواصل أسطر أو فواصل منقوطة، وبين قيمه فواصل أو مسافات. ويجب أن يكون كل معامل عددًا منتهيًا، وأن تتساوى أطوال الصفوف جميعها، وأن تكون المصفوفة مربعة — فالمصفوفة من رتبة 2 في 3 لا عدد شرط لها بهذا المعنى، لذا يُرفض الطلب بخطأ واضح يسمي الحقل المذنب. ثم يكوِّن الكود المصفوفة المتماثلة G = A^T A ويستخرج قيمها الذاتية بالتكرار الدوري التقليدي لجاكوبي: وهو تسلسل ثابت من الدورانات المستوية التي تصفّر المدخلات خارج القطر واحدة تلو الأخرى حتى تصبح المصفوفة قطرية بدقة العمل. ولأن ترتيب الدورانات واصطلاح الإشارة وسقف الجولات كلها ثابتة، فإن المصفوفة نفسها تعطي الإجابة نفسها دائمًا، بتًا بت. وقيم G الذاتية هي مربعات القيم المفردة لـ A، فجذورها التربيعية تعطي سيجما_max وسيجما_min، والنسبة، المقربة إلى اثنتي عشرة خانة عشرية لثبات المخرجات، هي عدد الشرط المُعاد. أما المصفوفات التي تهبط أصغر قيمها المفردة دون عتبة عددية مُقاسة — أي كابا_2 فوق عشرة مليارات تقريبًا — فتُبلَّغ على أنها مفردة عدديًا، لأن الدقة المزدوجة لا تستطيع بأمانة تمييزها عن مصفوفة ناقصة الرتبة.

قراءة النتيجة وتوظيفها جيدًا

تعطيك الاستجابة أربعة أشياء: عدد الشرط نفسه، وسيجما_max، وسيجما_min، ورسالة بلغة واضحة تصنّف المصفوفة. اعتبر أي كابا دون نحو 10 جيدة الشرط — فالحلالون المباشرون سيتصرفون حسنًا. وبين مئة ومليون، توقّع فقدانًا ظاهرًا في الدقة وفضّل الخوارزميات المستقرة: تحليل QR أو LU مع المحورنة الجزئية بدل تكوين معكوس صريح يضاعف خطأ الحساب الذي يغذيه. وفوق المليون، فالقراءة الأمينة هي أن الإجابة تعتمد على ضجيج بياناتك أكثر من اعتمادها على الحلال، والخطوة الصواب عادة إعادة قياس المسألة، أو تنظيمها، أو إعادة النظر في كون مصفوفة النموذج هي المناسبة. وهناك عادتان عمليتان مجديتان: افحص عدد الشرط قبل أن تلوم حلالًا على إجابة سيئة، فالمصفوفة سيئة الشرط تُنتج إجابات خاطئة من كود صحيح؛ وقارن أعداد الشرط بين الصياغات، فالمسألة الفيزيائية نفسها مكتوبة بوحدات أو دوال أساس مختلفة قد تختلف في كابا بمراتب من حيث المقدار. والكود نفسه الذي يعمل هنا يعمل مجانًا في متصفحك في هذه الصفحة، فيمكنك لصق مصفوفة ورؤية النتيجة قبل أن تدفع $0.002 لكل طلب لأتمتة ذلك.