条件数計算機

条件数が実際に測るもの

Ax = b という方程式系を数値的に解くとき、厳密な A と b で作業することはほとんどありません。係数は測定値や以前の計算結果、あるいは途中で丸められた10進入力から得られます。条件数とは、その不確かさの最悪ケースの増幅率です。入力が相対量イプシロンだけ変化すれば、解は最大でカッパ倍のイプシロンまで変化しえます。カッパ = 10 なら、データの1%の誤差が答えに10%の誤差を生じさせえます。カッパ = 1,000,000 なら、倍精度が保持できる約16桁の10進数字のうち6桁を失いかねません。ここで計算する2ノルム条件数カッパ_2は、A の特異値によって定義されます。最大特異値シグマ_maxは行列がベクトルを最大どれだけ伸ばせるかを、最小特異値シグマ_minは最大どれだけ縮められるかを測り、その比がカッパ_2です。回転のような直交行列のカッパ_2はちょうど1で、これが最良の値です。線形従属な行を持つ行列はシグマ_min = 0 でカッパ_2は無限大となります。だからこそこの機能は、意味のない巨大な数を表示する代わりに、特異行列を拒否するのです。

ここでの数値の計算方法

アルゴリズムは決定論的かつ自己完結的で、外部の数値計算ライブラリは使いません。まず入力が正規化されます。係数は行の配列として、または改行やセミコロンで行を区切り、カンマやスペースで値を区切ったテキストとして送信できます。各係数は有限の数値でなければならず、すべての行は同じ長さで、行列は正方でなければなりません。2×3の行列にはこの意味での条件数がないため、そのリクエストは原因となったフィールド名を示す明確なエラーで拒否されます。次にコードは対称行列 G = A^T A を構成し、古典的な巡回ヤコビ反復でその固有値を取り出します。これは固定された順序の平面回転が非対角成分を一つずつゼロにし、行列が作業精度で対角になるまで続くものです。回転の順序、符号の規約、スイープの上限がすべて固定されているため、同じ行列は常にビット単位で同じ答えを返します。G の固有値は A の特異値の二乗なので、その平方根がシグマ_maxとシグマ_minを与え、安定した出力のために小数点以下12桁に丸められた比が、返される条件数です。最小特異値がスケーリングされた数値的床（およそカッパ_2が100億以上）を下回る行列は、倍精度では階数欠損行列と正直に区別できないため、数値的に特異として報告されます。

結果の読み方と上手な活用法

応答は四つのものを提供します。条件数そのもの、シグマ_max、シグマ_min、そして行列を分類する平易なメッセージです。およそ10未満のカッパは良条件と見なしてください。直接ソルバーは安定に動作します。100から100万の間では、目に見える精度低下を見込み、安定なアルゴリズム、例えばQR分解や部分ピボット付きLUを選んでください。明示的な逆行列の構成は、それを供給する計算の誤差を二乗してしまいます。100万を超える場合の正直な読み方は、答えがソルバーよりもデータのノイズに左右されるということであり、正しい対処は通常、問題の再スケーリング、正則化、あるいはモデルの行列が適切かどうかの再検討です。実践的な習慣が二つ役に立ちます。悪い答えについてソルバーを責める前に条件数を確認すること。悪条件の行列は正しいコードから誤った答えを生みます。そして定式化の間で条件数を比較すること。同じ物理問題でも、別の単位や基底関数で書けばカッパは桁違いに変わりえます。ここで動くのと同じコードがこのページ上のお客様のブラウザで無料で実行されますので、自動化のために1リクエスト $0.002 をお支払いいただく前に、行列を貼り付けて結果をご確認いただけます。