Rechner: steigend oder fallend an einem Punkt

Geben Sie die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen sowie den zu prüfenden Punkt ein. Das Ergebnis nennt den Ableitungswert, sein Vorzeichen und das zugehörige Verhalten: steigend bei positiver, fallend bei negativer und stationär bei einer Ableitung von null. Damit erhalten Sie eine gezielte Prüfung für Übungsaufgaben, Kurvenanalysen und automatisierte Abläufe in der Differentialrechnung.

Was das Vorzeichen der Ableitung an einem Punkt aussagt

Die Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion. Bei einem Polynom f beschreibt f'(a) die Steigung seines Graphen an der Stelle x = a. Ist dieser Wert positiv, steigt die Tangente von links nach rechts; das Polynom wird am geprüften Punkt deshalb als steigend eingestuft. Bei einem negativen Wert fällt die Tangente, sodass das Polynom dort als fallend gilt. Eine Ableitung von null führt zur Einstufung stationär. Daraus folgt jedoch nicht automatisch ein lokales Maximum oder Minimum: Eine stationäre Stelle kann ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, eine Extremstelle oder ein Punkt eines konstanten Polynoms sein. Dieser Rechner beantwortet bewusst nur die lokale Vorzeichenfrage. Er bestimmt weder das Verhalten auf einem Intervall noch die Art einer kritischen Stelle. Geben Sie sämtliche Koeffizienten nach absteigenden Potenzen an. So steht [2, -3, 1] für 2x² - 3x + 1, während [4, 0, -7] das Polynom 4x² - 7 bezeichnet. Die Null hält dabei den Platz des fehlenden x-Terms frei.

So wird die Polynomableitung ausgewertet

Bei einem Polynom der Form a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 multipliziert das Ableiten jeden Koeffizienten mit seinem Exponenten und verringert den Exponenten anschließend um eins. Der konstante Term entfällt. Der Rechner bildet diese Ableitung intern und wertet sie mit dem Horner-Schema aus. Dieses Verfahren ordnet die Rechnung als verschachtelte Multiplikationen an und muss einzelne Potenzen nicht separat bestimmen. Dadurch ist die Auswertung effizient und numerisch übersichtlich. Führende Nullen werden vor der Angabe des Grades entfernt; Nullen innerhalb der Liste bleiben hingegen wichtige Platzhalter. Eine Liste mit nur einem Wert beschreibt ein konstantes Polynom, dessen Ableitung an jeder endlichen Stelle null ist. Die Eingabe ist auf 100 endliche Koeffizienten begrenzt. Koeffizienten und Prüfpunkt müssen außerdem innerhalb der veröffentlichten Betragsgrenze liegen. Überschreitet eine Zwischenrechnung den endlichen Zahlenbereich, erhalten Sie einen Eingabefehler, statt dass unendlich als sinnvolle Steigung ausgegeben wird. Der Zahlenwert wird auf eine stabile Genauigkeit normalisiert, damit gleiche Eingaben deterministische JSON-Ergebnisse liefern.

Ergebnis lesen und typische Eingabefehler vermeiden

Die Antwort führt den berechneten Ableitungswert, dessen Vorzeichen und die Verhaltensbezeichnung getrennt auf. Dadurch eignet sie sich für Menschen und automatisierte Abläufe gleichermaßen: Sie können die Steigung kontrollieren, während ein Programm ohne Textauswertung zwischen steigend, fallend und stationär verzweigt. Besonders häufig wird die Null für eine fehlende Potenz vergessen. Die Koeffizienten [3, 5] bedeuten 3x + 5 und nicht 3x² + 5; für das quadratische Polynom müssen Sie [3, 0, 5] eingeben. Ebenso darf ein stationäres Ergebnis nicht als Beweis für eine Extremstelle verstanden werden. Gilt f'(a) = 0, ist eine weitere Untersuchung nötig, etwa ein Vergleich der Ableitungsvorzeichen auf beiden Seiten oder ein geeigneter Test mit höheren Ableitungen. Beachten Sie außerdem, dass diese Fähigkeit nur einen Punkt und kein vollständiges Intervall untersucht. Ein Polynom kann an der gewählten Koordinate steigen und an anderer Stelle fallen. Für mehrere Prüfungen rufen Sie die API pro Punkt einmal für $0.002 auf oder verwenden das Browserwerkzeug für eine sofortige lokale Berechnung. Weder Netzwerkabfragen noch Zufallsverfahren beeinflussen die Antwort.