Ableitungsvorzeichen: steigend oder fallend

Das Vorzeichen beschreibt die lokale Richtung: Eine positive Ableitung bedeutet Wachstum, eine negative Ableitung Abnahme und eine Ableitung von null kennzeichnet eine stationäre Stelle, die weiter untersucht werden sollte. Geben Sie die Koeffizienten nach fallendem Grad ein, setzen Sie Nullen für fehlende Potenzen ein und erhalten Sie ein deterministisches Ergebnis für Übungen, Kontrollen oder automatisierte Berechnungen.

Geben Sie das Polynom eindeutig ein

Stellen Sie das Polynom durch seine Koeffizienten dar, geordnet von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied. Das Array [3, -2, 5, -7] steht beispielsweise für 3x³ - 2x² + 5x - 7. Jede Potenz benötigt eine Position; x⁴ + 2x - 1 muss daher als [1, 0, 0, 2, -1] eingegeben werden. Die Nullen bewahren den Grad aller folgenden Koeffizienten. Geben Sie mindestens zwei Koeffizienten an, auch wenn der erste null ist, und verwenden Sie ausschließlich endliche Zahlen. Danach tragen Sie die endliche numerische Stelle ein, an der die Ableitung geprüft werden soll. Diese ausdrückliche Darstellung vermeidet Unklarheiten frei geschriebener Formeln: Implizite Multiplikation, die Schreibweise von Exponenten und die Reichweite eines Minuszeichens müssen nicht interpretiert werden. Der Rechner gibt außerdem den aus dem Array abgeleiteten Grad zurück, damit Sie Ihre Eingabe vor der Verwendung des Ergebnisses prüfen können. Die Eingabelänge ist begrenzt, sodass die Ausführung im Browser und über die API vorhersehbar bleibt.

So wird der Ableitungswert berechnet

Für das Polynom aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ lautet die erste Ableitung naₙxⁿ⁻¹ + (n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁. Der Rechner bildet diese Ableitungskoeffizienten gedanklich und wertet sie mit dem Horner-Schema an der gewünschten Stelle aus. Dabei wird die Liste in einem einzigen begrenzten Durchlauf verarbeitet; große Potenzen von x müssen nicht einzeln berechnet werden. Das Verfahren ist effizient und deterministisch. Für f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7 bei x = 2 ist die Ableitung 9x² - 4x + 5. Der Wert beträgt somit 36 - 8 + 5 = 33, das Vorzeichen ist positiv und das Verhalten steigend. Überschreitet die Rechnung den endlichen Zahlenbereich, wird die Anfrage abgelehnt, anstatt Infinity zurückzugeben, denn ein unendlicher JSON-Wert wäre kein verlässliches Rechenergebnis.

Positive, negative und null Werte richtig deuten

Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt die momentane Richtung des Polynoms an der gewählten Stelle. Ein positiver Wert bedeutet, dass der Graph dort ansteigt; das gemeldete Verhalten lautet daher steigend. Ein negativer Wert bedeutet, dass der Graph fällt, und wird als fallend bezeichnet. Bei einer exakten null lautet das Ergebnis stationär, denn die erste Ableitung allein bestimmt die Art der stationären Stelle nicht. Es kann sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen stationären Wendepunkt handeln. Zur Einordnung benötigen Sie benachbarte Vorzeichen oder einen Test mit höheren Ableitungen. Der Rechner bezeichnet daher nicht jede Nullstelle der Ableitung automatisch als Extremstelle. Beachten Sie bei Dezimalzahlen außerdem die Genauigkeit: JavaScript verwendet Gleitkommaarithmetik, sodass ein theoretisch null ergebender Ausdruck einen winzigen positiven oder negativen Wert liefern kann. Das Werkzeug meldet das berechnete Vorzeichen ohne verborgene Toleranz. Nutzen Sie für symbolische Gewissheit exakte Algebra; legen Sie für numerische Aufgaben eine geeignete Toleranz fest und dokumentieren Sie diese.