Minimale Summe bei festem Produkt berechnen

Er gibt beide optimalen Werte und die minimale Summe anhand des Gleichheitsfalls der arithmetisch-geometrischen Mittelwertungleichung aus. Das unmittelbare, deterministische Ergebnis eignet sich für Optimierungsaufgaben, algebraische Prüfungen, geometrische Anwendungen und automatisch erzeugte Lösungen, ganz ohne numerische Suche oder willkürlich gewählten Startwert.

Optimierungsproblem mit festem Produkt aufstellen

Nehmen Sie an, die beiden positiven Zahlen heißen x und y und ihr festes Produkt sei P. Die Nebenbedingung lautet xy = P; zu minimieren ist die Summe S = x + y. Geben Sie P in das Feld product ein. Der Wert muss eine endliche Zahl sein, die strikt größer als null ist, weil es um zwei positive reelle Zahlen geht. Aus der Nebenbedingung folgt y = P/x. Damit wird die Summe zur Funktion einer Variablen S(x) = x + P/x für x größer als null. Diese Darstellung macht den Ausgleich deutlich: Ein sehr kleines x erzwingt ein sehr großes y, während bei einem sehr großen x dieses selbst die Summe bestimmt. Zwischen beiden Extremen liegt genau ein Gleichgewichtspunkt. Der Rechner gibt ihn als first_number und second_number sowie anschließend als minimum_sum aus. Die Feldnamen trennen die verlangten Größen, obwohl beide optimalen Werte gleich sind. Der Dienst legt keine Einheiten fest. Steht das Produkt etwa für Quadratmeter oder eine andere zusammengesetzte Einheit, übernehmen Sie die passende Grundeinheit für jede Zahl und deren Summe. Ausgegeben werden nur die mathematischen Skalarwerte.

Warum gleiche Zahlen das globale Minimum ergeben

Das Ergebnis lässt sich auf zwei klassische Arten begründen. Differenzieren Sie S(x) = x + P/x, so erhalten Sie S'(x) = 1 - P/x squared. Aus dem Nullsetzen der Ableitung folgt x squared = P; wegen der Positivität gilt x = square root of P. Eingesetzt in y = P/x ergibt sich für y dieselbe positive Quadratwurzel. Die zweite Ableitung 2P/x cubed ist im gesamten zulässigen Bereich positiv, daher ist der kritische Punkt ein striktes Minimum. Das Verhalten nahe null und gegen unendlich bestätigt, dass es sich um das globale Minimum handelt. Noch kürzer ist der Beweis mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel: Für positive x und y ist (x + y)/2 mindestens so groß wie die Quadratwurzel aus xy. Wegen xy = P ist jede zulässige Summe mindestens 2 square root of P; Gleichheit gilt genau für x = y. Der Rechner verwendet diese geschlossene Gleichheitsbedingung unmittelbar. Er prüft keine Stichproben und iteriert nicht, sodass weder Suchintervall noch Konvergenztoleranz erforderlich sind und kein falsches lokales Extremum gewählt werden kann.

Ergebnis lesen und richtig anwenden

Bei einem Produkt von 36 sind die optimalen Werte 6 und 6 und die minimale Summe ist 12. Das ungleiche Paar 4 und 9 hat ebenfalls das Produkt 36, aber die Summe 13; daran wird der Nachteil einer Abweichung von der Gleichheit sichtbar. Produkte, die keine Quadratzahlen sind, funktionieren genauso. Die optimalen Werte können irrational sein und werden mit der üblichen JavaScript-Gleitkommaarithmetik dargestellt. Der Dienst rundet absichtlich nicht, denn eine Lernoberfläche benötigt vielleicht vier Dezimalstellen, ein nachfolgender Rechenschritt dagegen die gesamte verfügbare Genauigkeit. Runden Sie erst für die Darstellung und verwenden Sie gerundete Werte nicht erneut für eine strenge Produktprüfung. Das Ergebnis gilt für positive reelle Zahlen. Beschränkt eine Aufgabe die Auswahl auf ganze Zahlen, setzt Schranken, erlaubt negative Werte oder behandelt mehr als zwei Faktoren, ändert sich die zulässige Menge und dieser Rechner ist nicht geeignet. In der Geometrie erscheint die Formel bei einem Rechteck mit fester Fläche und minimalem Umfang: Gleiche Seiten ergeben ein Quadrat. Nutzen Sie die Ausgabe bei Analysisaufgaben zur Kontrolle, zeigen Sie in Ihrer Lösung aber weiterhin Nebenbedingung, Substitution, Ableitung oder Ungleichung, Gleichheitsfall und Definitionsbereich.