Calculadora de suma mínima con producto fijo

Devuelve cada número óptimo y la suma mínima mediante la condición de igualdad de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. El resultado es determinista e inmediato, por lo que sirve para ejercicios de optimización, comprobaciones algebraicas, problemas geométricos y generación automática de respuestas sin búsquedas numéricas ni valores iniciales arbitrarios.

Plantee el problema de optimización con producto fijo

Suponga que los números positivos son x e y y que su producto fijo es P. La restricción es xy = P, mientras que se desea minimizar la suma S = x + y. Introduzca P en el campo product; debe ser un número finito estrictamente mayor que cero, pues el problema se refiere a dos números reales positivos. La restricción permite sustituir y por P/x y convertir la suma en la función de una variable S(x) = x + P/x, con x mayor que cero. Así se aprecia el equilibrio: un x muy pequeño obliga a que y sea muy grande, mientras que un x muy grande domina por sí solo la suma. Entre ambos extremos existe un único punto de equilibrio. La calculadora lo devuelve como first_number y second_number, seguido de minimum_sum. Los nombres separan las cantidades solicitadas aunque los valores óptimos sean iguales. El servicio no asigna unidades; si el producto representa metros cuadrados u otra unidad compuesta, conserve la unidad básica correspondiente para cada número y para la suma.

Por qué dos números iguales dan el mínimo global

La respuesta puede justificarse de dos maneras habituales. Mediante cálculo, derive S(x) = x + P/x para obtener S'(x) = 1 - P/x squared. Al igualar la derivada a cero resulta x squared = P, y la positividad selecciona x = square root of P. Al sustituir en y = P/x se obtiene la misma raíz cuadrada positiva para y. La segunda derivada, 2P/x cubed, es positiva en todo el dominio permitido, de modo que el punto crítico es un mínimo estricto. El comportamiento cerca de cero y hacia infinito confirma que se trata del mínimo global. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica ofrece una prueba más breve: para x e y positivos, (x + y)/2 es al menos la raíz cuadrada de xy. Como xy = P, toda suma admisible es al menos 2 square root of P, y la igualdad solo ocurre cuando x = y. La calculadora aplica directamente esta condición cerrada; no muestrea candidatos ni itera, por lo que no necesita intervalo de búsqueda ni tolerancia de convergencia.

Interprete el resultado y aplíquelo correctamente

Para un producto de 36, los valores óptimos son 6 y 6, y la suma mínima es 12. Un par desigual como 4 y 9 también tiene producto 36, pero suma 13, lo que muestra el coste de alejarse de la igualdad. Los productos que no son cuadrados perfectos se resuelven igual: los valores óptimos pueden ser irracionales y se representan con la aritmética estándar de coma flotante de JavaScript. El servicio no los redondea deliberadamente, porque una interfaz educativa puede requerir cuatro decimales y un cálculo posterior puede necesitar toda la precisión disponible. Redondee solo al presentar el resultado y evite reutilizar un valor redondeado en una comprobación estricta del producto. La solución corresponde a números reales positivos. Si el problema limita los valores a enteros, impone cotas, admite negativos o incluye más de dos factores, el conjunto factible cambia y esta calculadora no es adecuada. En geometría aparece al minimizar el perímetro de un rectángulo con área fija: los lados iguales forman un cuadrado. En ejercicios de cálculo, use la respuesta para comprobar su trabajo, pero muestre también la restricción, la sustitución, la derivada o desigualdad, la condición de igualdad y el dominio.