Residuen-Rechner: Quadratsumme und RMSE

Geben Sie zusammengehörige Listen mit x- und y-Werten sowie Steigung und Achsenabschnitt der angepassten Geraden ein. Das Ergebnis enthält jeden Prognosewert, jedes vorzeichenbehaftete Residuum, die Residuensumme, die Residuenquadratsumme und die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers. Das ist nützlich, wenn Sie bereits eine Gleichung besitzen und deren Fehler untersuchen, mögliche Geraden vergleichen, Aufgaben prüfen oder schlecht dargestellte Beobachtungen erkennen möchten.

Beobachtungen und angepasste Gerade eingeben

Tragen Sie die beobachteten Koordinaten in zwei Listen namens x_values und y_values ein. Die Position legt die Paare fest: Der erste x-Wert gehört zum ersten y-Wert, der zweite x-Wert zum zweiten y-Wert und so weiter. Deshalb müssen beide Listen gleich lang sein, mindestens eine Beobachtung enthalten und ausschließlich aus endlichen Zahlen bestehen. Geben Sie anschließend Steigung und Achsenabschnitt der zu prüfenden Geraden an. Der Rechner verwendet die Gleichung prognostiziertes y = Steigung × x + Achsenabschnitt; er schätzt diese Koeffizienten nicht selbst. Diese Abgrenzung ist wichtig, wenn ein Lehrbuch, eine Tabellenkalkulation, eine Statistiksoftware oder ein vorheriger Regressionsschritt bereits eine Gerade geliefert hat und Sie nun die verbleibenden Fehler untersuchen möchten. Verwenden Sie durchgehend kompatible Einheiten. Wird x in Stunden und y in Euro gemessen, muss die Steigung in Euro je Stunde und der Achsenabschnitt in Euro angegeben sein. Die Ausgabe wiederholt die eingegebenen Koeffizienten und nennt die Anzahl der gepaarten Beobachtungen. So können Sie prüfen, ob die beabsichtigten Daten und die richtige Gleichung ausgewertet wurden. Pro Anfrage sind bis zu 10,000 Paare möglich.

Einzelne Residuen und ihre Vorzeichen lesen

Für jede Beobachtung wertet der Rechner zunächst die angepasste Gerade an der jeweiligen x-Koordinate aus und erhält einen Prognosewert. Danach berechnet er Residuum = beobachtetes y − prognostiziertes y. Ein positives Residuum bedeutet, dass der beobachtete Punkt über der Geraden liegt; ein negatives liegt darunter. Bei einem Residuum von null verläuft die Gerade genau durch die Beobachtung. Die Listen der Prognosen und Residuen behalten die ursprüngliche Reihenfolge bei. Sie können daher jedes Ergebnis ohne Sortierung oder Kennungen seinem Ausgangspunkt zuordnen. Vorzeichen sind wichtig, weil sie systematische Strukturen sichtbar machen können, die eine einzelne Kennzahl verdeckt. Lange Folgen positiver und anschließend negativer Residuen können auf Krümmung, eine fehlende Variable oder einen wechselnden Zusammenhang hinweisen. Ein einzelnes großes Residuum kann eine ungewöhnliche Beobachtung oder einen Eingabefehler kennzeichnen. Das Feld residual_sum addiert die vorzeichenbehafteten Fehler; mean_residual teilt diese Summe durch die Punktzahl. Bei einer gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Geraden mit Achsenabschnitt, die an denselben Daten angepasst wurde, liegt die Summe abgesehen von Gleitkommarundungen gewöhnlich nahe null. Allein beweist dies keine gute Anpassung, denn positive und negative Fehler können sich gegenseitig aufheben.

Anpassung mit RSS und RMSE beurteilen

Die Residuenquadratsumme, meist RSS oder SSE genannt, ist die Summe aller quadrierten Residuen. Durch das Quadrieren verschwindet das Vorzeichen, Fehler oberhalb und unterhalb der Geraden heben sich nicht mehr auf, und große Abweichungen erhalten mehr Gewicht. Ein RSS von null zeigt, dass sämtliche eingegebenen Punkte exakt auf der vorgegebenen Geraden liegen. Für denselben Datensatz und dieselbe Einheit der Zielgröße steht ein kleinerer RSS für eine engere Anpassung. RSS wächst jedoch mit der Beobachtungszahl und trägt das Quadrat der y-Einheit. Vergleiche zwischen Datensätzen mit verschiedenen Größen oder Skalen sind daher mit Vorsicht vorzunehmen. Der Rechner liefert außerdem die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers: die Quadratwurzel aus RSS geteilt durch die Beobachtungszahl. RMSE bleibt in der ursprünglichen y-Einheit und beschreibt eine typische Fehlergröße, die häufig leichter verständlich ist. Der Wert ist ein beschreibendes Anpassungsmaß und nicht der um Freiheitsgrade korrigierte Residualstandardfehler für statistische Schlussfolgerungen. Wenn Sie mögliche Geraden an genau denselben Punkten vergleichen, betrachten Sie sowohl die Gesamtmaße als auch das Muster der einzelnen Residuen. Selbst der beste Zahlenwert kann Krümmung, Gruppen, einflussreiche Punkte oder ein ungeeignetes lineares Modell verbergen.