Ausgleichsgerade: Steigung, Achsenabschnitt und Prognosen

Geben Sie ein x-Array und ein gleich langes y-Array ein; der Rechner liefert die Steigung nach der gewöhnlichen Methode der kleinsten Quadrate, den Achsenabschnitt und für jeden x-Wert eine y-Prognose. Damit können Sie Aufgaben prüfen, Trendlinien erstellen, Tabellenkalkulationen kontrollieren und reproduzierbare Ergebnisse automatisieren. Die Berechnung ist deterministisch, nutzt keinen externen Dienst und weist ungleich lange Arrays oder eine x-Reihe ohne Streuung eindeutig zurück.

So wird die Ausgleichsgerade berechnet

Der Rechner passt eine Gerade der Form vorhergesagtes y gleich Steigung mal x plus Achsenabschnitt an. Er verwendet die gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate. Dieses Standardverfahren wählt die Koeffizienten so, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen beobachteten y-Werten und Prognosen minimal wird. Zunächst wird für jedes Array das arithmetische Mittel berechnet. Anschließend wird ermittelt, wie weit jeder x-Wert vom x-Mittel entfernt ist und wie sich der zugehörige y-Wert gegenüber dem y-Mittel verändert. Die Summe der Produkte dieser Abweichungen wird durch die Summe der quadrierten x-Abweichungen geteilt und ergibt die Steigung. Der Achsenabschnitt ist das y-Mittel abzüglich Steigung mal x-Mittel. Danach wird jeder ursprüngliche x-Wert in die Gleichung eingesetzt; die Prognosen erscheinen in derselben Reihenfolge. Da eine geschlossene Formel statt einer iterativen Näherung verwendet wird, führen identische endliche Eingaben immer zum gleichen Ergebnis. Weit entfernte Ausreißer können die Gerade stark beeinflussen, weil Fehler quadriert werden.

x- und y-Arrays richtig vorbereiten

Übergeben Sie x und y als JSON-Arrays, die ausschließlich endliche Zahlen enthalten. Die Positionen bilden die Paare: Der erste x-Wert gehört zum ersten y-Wert, der zweite zum zweiten und so weiter. Beide Arrays müssen gleich lang sein und mindestens zwei Werte enthalten. Behalten Sie die Reihenfolge bei, wenn Sie Prognosen und Beobachtungen vergleichen möchten, denn die Ausgabe folgt x exakt. Dezimalzahlen, negative Zahlen und null sind zulässig. Fehlende Werte, numerische Zeichenketten, null, NaN und Infinity müssen Sie vorher bereinigen. Außerdem muss x tatsächlich streuen. Sind alle x-Werte gleich, ist der Nenner der Steigungsformel null und es lässt sich keine endliche lineare Funktion von x bestimmen. Der Rechner meldet dann eine ungültige Eingabe, statt irreführend null, Infinity oder NaN auszugeben. Bei sehr großen Messwerten oder extrem unterschiedlichen Größenordnungen können passend skalierte Einheiten die üblichen Grenzen der Gleitkommaarithmetik verringern und die Koeffizienten verständlicher machen.

Ergebnisse verstehen und einsetzen

Die Steigung zeigt, wie stark sich das vorhergesagte y ändert, wenn x um eine Einheit steigt. Eine positive Steigung steht für einen zunehmenden Zusammenhang, eine negative für einen abnehmenden; ein Wert nahe null weist im beobachteten Bereich auf wenig lineare Änderung hin. Der Achsenabschnitt ist die y-Prognose für x gleich null. Er kann sinnvoll sein, wenn null innerhalb oder nahe bei den Daten liegt, andernfalls ist er möglicherweise nur ein mathematischer Anker. Das Array predicted enthält den angepassten y-Wert für jedes übergebene x. Damit können Sie eine Trendlinie zeichnen, eine Ergebnistabelle erzeugen oder Residuen berechnen, indem Sie jede Prognose vom beobachteten y abziehen. Eine Ausgleichsgerade beschreibt einen Zusammenhang, beweist jedoch keine Ursache. Extrapolieren Sie ohne Fachwissen nicht weit über den beobachteten Bereich hinaus. Prüfen Sie ein Streudiagramm auf Krümmung, Gruppen und einflussreiche Ausreißer. Im Browser ist die Berechnung kostenlos; automatisierte API-Aufrufe kosten $0.002 pro Element.