PDF della distribuzione gamma

Inserisca una forma positiva, un tasso positivo e il valore di x per ottenere la densità e il suo logaritmo naturale. Questa parametrizzazione basata sul tasso è utile nei modelli di affidabilità, attesa, assicurazione e inferenza bayesiana. Gestisce inoltre esattamente il comportamento in zero, compreso il caso singolare per forme inferiori a uno, senza sostituire implicitamente il tasso con la scala.

Inserisca forma, tasso e punto di valutazione

In questo strumento, due parametri positivi definiscono la distribuzione gamma. La forma ne controlla l’andamento generale: valori inferiori a uno producono una curva che scende da una singolarità in zero, una forma uguale a uno genera la distribuzione esponenziale e forme maggiori creano una densità che prima sale e poi diminuisce. Il tasso stabilisce quanto i valori siano concentrati vicino a zero. Inserisca direttamente il tasso, non la scala. Se la Sua fonte riporta la scala, la converta mediante tasso = 1 / scala prima del calcolo. Indichi infine x, il punto non negativo in cui valutare la densità. Il risultato è una densità, non la probabilità di osservare esattamente x. In una distribuzione continua, la probabilità in un singolo punto è zero; le probabilità su intervalli richiedono l’integrazione della densità o una funzione di distribuzione cumulativa. Tutti i valori devono essere finiti. Forma e tasso devono essere strettamente positivi, mentre x può essere zero ma non negativo.

Comprenda la formula e il risultato numerico

Il calcolatore applica f(x) = rate^shape × x^(shape - 1) × exp(-rate × x) / Gamma(shape) per x maggiore o uguale a zero. La valutazione diretta dei fattori può causare overflow o underflow anche quando la densità finale è rappresentabile; per questo l’implementazione opera prima nello spazio logaritmico. Calcola shape × log(rate) + (shape - 1) × log(x) - rate × x - logGamma(shape), usando un’approssimazione fissa di Lanczos per logGamma, e poi esegue l’esponenziale. La log-densità restituita è utile per confrontare contributi di verosimiglianza molto piccoli, perché può rimanere finita quando la densità ordinaria viene arrotondata a zero. Per x = 0 vengono applicati i limiti esatti senza calcolare log(0): la densità è zero se la forma supera uno, coincide con il tasso se la forma vale uno ed è illimitata se la forma è inferiore a uno. Il valore illimitato viene rappresentato con “Infinity” e segnalato esplicitamente per mantenere valida la risposta JSON.

Utilizzi correttamente i valori di densità

Una densità di probabilità può superare uno, soprattutto quando la distribuzione è molto concentrata, senza violare le regole della probabilità. È l’area totale sotto la curva sull’intero supporto che deve essere pari a uno. Usi il risultato per valutare verosimiglianze, confrontare parametri candidati, esaminare un modello adattato o ottenere punti per un grafico. Non interpreti la densità come percentuale né come probabilità che la variabile sia esattamente x. Quando combina densità di molte osservazioni, sommi le log-densità restituite: ridurrà l’underflow numerico e seguirà il normale procedimento di massima verosimiglianza. La parametrizzazione richiede attenzione perché le librerie statistiche alternano tasso e scala. Questo calcolatore usa sempre il tasso, con scala = 1 / tasso. Verifichi la convenzione di qualsiasi articolo, foglio di calcolo o software prima di confrontare i risultati. I calcoli impiegano l’aritmetica JavaScript a doppia precisione e un’approssimazione deterministica, adeguate all’uso statistico ordinario ma non sostitutive del software a precisione arbitraria per intervalli scientifici estremi o certificazioni numeriche formali.