Développer un logarithme : produit, quotient et puissance

Cette API effectue cette réécriture pour vous. Vous envoyez la base et la liste des facteurs avec leurs opérations, et vous recevez en retour l'expression développée, un terme par facteur, avec les signes et les coefficients corrects. Les arguments numériques sont validés : un logarithme n'est défini que pour des arguments strictement positifs, donc tout facteur nul ou négatif est rejeté avec une erreur claire au lieu de produire une expression dépourvue de sens.

Ce que signifie développer un logarithme

Les trois lois des logarithmes transforment la structure à l'intérieur de l'argument en structure à l'extérieur. La règle du produit dit que log_b(x·y) est égal à log_b(x) plus log_b(y) : une multiplication à l'intérieur devient une addition à l'extérieur. La règle du quotient dit que log_b(x/y) est égal à log_b(x) moins log_b(y) : une division à l'intérieur devient une soustraction à l'extérieur. La règle de la puissance dit que log_b(x^n) est égal à n fois log_b(x) : un exposant à l'intérieur glisse devant comme coefficient. Développer un logarithme, c'est appliquer ces lois de gauche à droite jusqu'à ce que plus rien, à l'intérieur d'aucun logarithme, ne puisse être décomposé davantage. Les élèves rencontrent cette opération lorsqu'ils simplifient des expressions avant de dériver, lorsqu'ils résolvent des équations exponentielles et lorsqu'ils linéarisent des données pour un graphique log-log. L'opération est purement mécanique dès lors que vous identifiez chaque facteur et la manière dont il entre dans l'argument, et c'est exactement pourquoi elle convient à une API : vous décrivez l'expression comme une base accompagnée d'une liste d'opérations et de facteurs, et le développement vous revient sous la forme d'une chaîne prête à l'emploi, chaque terme étant explicité avec son signe, son coefficient et son argument.

Comment décrire votre expression à l'API

L'entrée comporte deux parties. La base est la base du logarithme : tout nombre positif autre que 1, donc 2, 10 et e conviennent tous, tandis que 1, 0 et les nombres négatifs sont rejetés car aucun logarithme réel n'admet une telle base. Le tableau de termes énumère les facteurs de l'argument dans l'ordre. Chaque terme désigne une opération — multiplication, division ou puissance — et un argument. Un terme de multiplication apporte son logarithme avec un signe plus, un terme de division avec un signe moins, et un terme de puissance avec son exposant extrait comme coefficient placé devant. Ainsi, le logarithme en base 2 de x·y/z³ correspond à trois termes : multiplication par x, multiplication par y et puissance de z d'exposant 3, ce qui se développe en log₂(x) + log₂(y) − 3·log₂(z). Les arguments peuvent être symboliques, comme x ou price, lorsque vous voulez la forme algébrique, ou numériques, comme 8, lorsque vous voulez une vérification concrète. Les arguments numériques doivent être positifs ; les arguments symboliques sont conservés tels quels, car leur signe dépend des valeurs que vous leur attribuerez ensuite. Un exposant négatif sur un terme de puissance inverse simplement le signe du terme, puisque x à la puissance moins n revient à diviser par x à la puissance n.

Pourquoi la validation du domaine est importante

Un logarithme réel n'est défini que pour des arguments strictement positifs. Le logarithme de zéro diverge vers moins l'infini et le logarithme d'un nombre négatif n'est pas du tout un nombre réel, de sorte qu'un développement fondé sur un facteur non positif serait un bruit symbolique qui se briserait silencieusement dès que quelqu'un l'évaluerait. Ce point d'accès refuse de produire ce bruit : lorsqu'un argument numérique est nul ou négatif, l'appel échoue avec une erreur d'entrée invalide nommant le terme fautif, et l'appel ne vous est pas facturé. La même rigueur s'applique à la base, qui doit être positive et différente de 1, et aux exposants, qui doivent être des nombres finis — un exposant de zéro est rejeté car le terme contribuerait alors le logarithme de 1, c'est-à-dire zéro, ce qui est presque toujours une erreur dans l'entrée. Le résultat est déterministe : la même requête renvoie toujours la même chaîne, octet pour octet, ce qui rend ce point d'accès sûr à utiliser dans des feuilles d'exercices générées, des correcteurs automatisés et des vérifications CI qui comparent les sorties littéralement. Il s'exécute sur notre réseau de périphérie sans rien stocker, et le même algorithme tourne gratuitement dans le navigateur sur cette page, de sorte que vous ne payez $0.002 par appel que lorsque vous l'automatisez.