Calculadora de matriz de cofatores

É o passo intermediário por trás da adjunta, da fórmula da inversa A^-1 = adj(A)/det(A) e de toda expansão de determinante dos livros didáticos, calculado em uma única chamada determinística em vez de à mão, sinal por sinal, com cada entrada validada antes de qualquer aritmética começar.

O que é de fato uma matriz de cofatores

Para uma matriz quadrada A, o cofator C(i,j) combina duas coisas: o menor M(i,j), que é o determinante da submatriz que resta após eliminar a linha i e a coluna j, e um sinal de tabuleiro de xadrez (-1)^(i+j) que alterna entre linhas e colunas. A matriz de cofatores reúne cada C(i,j) na mesma posição da entrada original, portanto tem exatamente o mesmo formato de A. Os estudantes a conhecem como a maquinaria por trás da expansão de Laplace ao longo de uma linha ou coluna, mas ela é muito mais do que um exercício: a transposta da matriz de cofatores é a adjunta, e dividir a adjunta pelo determinante produz a inversa sempre que o determinante não é zero. Um único sinal errado em qualquer ponto inverte uma linha ou coluna inteira do resultado, exatamente o tipo de erro silencioso que uma computação determinística elimina de vez. Você envia as entradas e recebe a matriz de cofatores completa, com todos os sinais já aplicados, além da ordem n, de modo que a resposta é totalmente autodescritiva.

Como o cálculo é feito

Cada cofator exige o determinante de um menor (n-1) x (n-1), portanto o endpoint calcula internamente n ao quadrado determinantes para uma matriz de ordem n. Cada um é avaliado por eliminação gaussiana com pivoteamento parcial, um método exato para as matrizes de inteiros e decimais simples que as pessoas realmente enviam e numericamente bem comportado para todo o resto, ao contrário da expansão recursiva ingênua, cujo custo explode fatorialmente com n. Os resultados são arredondados para nove casas decimais, de modo que a resposta é estável byte a byte, não importa onde seja executada. O contrato de entrada é rigoroso de propósito: a matriz deve ser quadrada, cada entrada deve ser um número finito e a ordem é limitada a dez, pois além disso uma matriz de cofatores raramente é o que você deseja — seu custo cresce com a quinta potência de n e a rota adjunta-inversa é a maneira mais lenta conhecida de inverter qualquer coisa. Uma matriz 1x1 retorna [[1]], a convenção que mantém a identidade A * adj(A) = det(A) * I verdadeira nesse caso-limite.

Quando usá-la e quando não

Use-a quando a própria matriz de cofatores é o entregável: conferir dever de casa entrada por entrada, gerar exemplos totalmente resolvidos para ensino, verificar uma implementação da fórmula da adjunta contra uma referência confiável ou alimentar um pipeline simbólico que precisa de cada menor com sinal explicitamente, e não de um único número agregado. Se o que você realmente precisa é apenas do determinante ou da inversa, essas são capacidades separadas e mais baratas — o determinante é um único número e a inversa é calculada diretamente com eliminação de Gauss-Jordan, em vez de passar por n ao quadrado menores. O mesmo código que responde à API roda de graça no seu navegador nesta página, então você pode colar uma matriz, inspecionar o resultado e só pagar — US$ 0,002 por requisição — quando automatizar a chamada a partir do seu próprio sistema. Nada do que você envia é guardado em lugar algum: a matriz é processada em memória e descartada, e apenas a matriz de cofatores é devolvida a você.