Calculadora de matriz de cofactores

Es el paso intermedio detrás de la adjunta, de la fórmula de la inversa A^-1 = adj(A)/det(A) y de todo desarrollo de determinantes de libro de texto, calculado en una única llamada determinista en lugar de hacerse a mano, signo por signo, con cada entrada validada antes de que comience cualquier aritmética.

Qué es realmente una matriz de cofactores

Para una matriz cuadrada A, el cofactor C(i,j) combina dos cosas: el menor M(i,j), que es el determinante de la submatriz que queda tras eliminar la fila i y la columna j, y un signo de tablero de ajedrez (-1)^(i+j) que alterna a lo largo de filas y columnas. La matriz de cofactores reúne cada C(i,j) en la misma posición que la entrada original, por lo que tiene exactamente la misma forma que A. Los estudiantes la conocen como la maquinaria detrás del desarrollo de Laplace a lo largo de una fila o columna, pero es mucho más que un ejercicio: la traspuesta de la matriz de cofactores es la adjunta, y dividir la adjunta entre el determinante produce la inversa siempre que el determinante no sea cero. Equivocarse en un solo signo invierte una fila o columna completa del resultado, que es exactamente el tipo de error silencioso que un cálculo determinista elimina para siempre. Usted envía las entradas y recibe la matriz de cofactores completa con cada signo ya aplicado, además del orden n, de modo que la respuesta se describe por completo a sí misma.

Cómo se realiza el cálculo

Cada cofactor necesita el determinante de un menor (n-1) x (n-1), de modo que el punto de conexión calcula internamente n al cuadrado determinantes para una matriz de orden n. Cada uno se evalúa mediante eliminación gaussiana con pivoteo parcial, un método exacto para las matrices de enteros y decimales sencillos que la gente envía realmente y numéricamente bien comportado para todo lo demás, a diferencia del desarrollo recursivo ingenuo, cuyo coste explota factorialmente con n. Los resultados se redondean a nueve decimales para que la respuesta sea estable byte a byte sin importar dónde se ejecute. El contrato de entrada es estricto a propósito: la matriz debe ser cuadrada, cada entrada debe ser un número finito y el orden se limita a diez, porque más allá de eso una matriz de cofactores rara vez es lo que usted necesita — su coste crece como la quinta potencia de n y la ruta adjunta-inversa es la forma más lenta conocida de invertir cualquier cosa. Una matriz 1x1 devuelve [[1]], la convención que mantiene verdadera en ese caso límite la identidad A * adj(A) = det(A) * I.

Cuándo usarla y cuándo no

Úsela cuando la matriz de cofactores en sí sea el resultado que necesita: comprobar tareas entrada por entrada, generar ejemplos completamente resueltos para la enseñanza, verificar una implementación de la fórmula de la adjunta contra una referencia fiable, o alimentar una canalización simbólica que necesita cada menor con signo de forma explícita en lugar de un único número agregado. Si lo que realmente necesita es sólo el determinante o la inversa, esas son capacidades separadas y más baratas: el determinante es un solo número y la inversa se calcula directamente con eliminación de Gauss-Jordan en lugar de pasar por n al cuadrado menores. El mismo código que responde a la API se ejecuta gratis en su navegador en esta página, de modo que puede pegar una matriz, inspeccionar el resultado y sólo pagar — $0.002 por solicitud — cuando automatice la llamada desde su propio sistema. Nada de lo que envía se guarda en ningún sitio: la matriz se procesa en memoria y se descarta, y sólo se le devuelve la matriz de cofactores.