Lista de totativos: inteiros coprimos de n

Esta calculadora gera a lista completa e ordenada, em vez de apenas informar o valor da função totiente de Euler. Informe um inteiro positivo para receber o valor original, a quantidade de inteiros que atendem à condição e os próprios totativos. O recurso é útil para conferir exercícios de aritmética modular, explorar sistemas reduzidos de resíduos e ver exatamente quais valores contribuem para a função totiente de Euler.

O que a lista de totativos representa

Os totativos de n são exatamente os inteiros de 1 a n cujo máximo divisor comum com n é 1. Dizer que dois números têm máximo divisor comum igual a 1 equivale a dizer que são coprimos ou primos entre si. Por exemplo, um candidato é excluído se compartilhar qualquer fator primo com n, mesmo que não seja divisor de n. A matriz retornada vem em ordem crescente porque os candidatos são testados a partir de 1. O valor 1 sempre aparece, pois é coprimo de todo inteiro positivo. Em geral, o extremo n não aparece porque gcd(n, n) é igual a n; o caso especial é n = 1, cuja lista é [1]. A contagem fornecida corresponde ao comprimento da lista e, portanto, à função totiente de Euler phi(n). Esta capacidade mostra os elementos efetivos; quando você precisa somente da contagem para um inteiro muito grande, uma calculadora de totiente é mais adequada. A distinção importa na aritmética modular, em que esses elementos formam o sistema reduzido de resíduos módulo n.

Como o cálculo funciona

A calculadora valida n antes de realizar qualquer operação. Ela aceita um número inteiro ou um inteiro escrito como texto decimal simples, rejeita frações e valores não numéricos e informa um erro de entrada quando n é menor que 1. Também aplica o limite superior publicado para que a criação de uma matriz JSON potencialmente grande continue previsível tanto no navegador quanto na API. Após a validação, o algoritmo considera cada inteiro de 1 a n. Para cada candidato, aplica o algoritmo de Euclides: substitui repetidamente o par maior pelo divisor e pelo resto até que o resto seja zero. O último divisor diferente de zero é o máximo divisor comum. Um candidato só entra no resultado quando esse divisor é 1. O procedimento usa aritmética inteira exata, sem aproximações, banco de fatores, solicitação de rede, escolha aleatória ou relógio. Assim, a mesma entrada sempre gera a mesma saída ordenada. A contagem é obtida da matriz concluída, e não calculada separadamente, evitando divergências entre a lista exibida e o tamanho informado.

Como usar o resultado corretamente

Use a lista quando a próxima etapa depender das classes de resíduos individuais, e não apenas da quantidade delas. Na teoria elementar dos números, ela permite verificar diretamente quais números são invertíveis módulo n: cada valor listado tem um inverso multiplicativo módulo n, enquanto cada valor omitido não tem. Em aulas de criptografia, o resultado ajuda a demonstrar por que um multiplicador deve ser coprimo do módulo, embora seja um resultado aritmético educacional e não um sistema de geração de chaves. Você também pode comparar a contagem retornada com um cálculo manual da fórmula do totiente de Euler para conferir uma fatoração. Lembre-se de que coprimalidade é uma relação, não uma afirmação de que cada número listado seja primo. Valores compostos podem aparecer sempre que não compartilhem nenhum fator primo com n. Por exemplo, um candidato composto pode ser totativo de um módulo primo. Para uso automatizado, leia diretamente a matriz de totativos e trate a contagem como resumo. Se você só precisa saber se um par específico é coprimo, um verificador de coprimalidade evita montar a lista completa.