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Kubische Regression

Dieser Rechner für kubische Regression passt mit der gewöhnlichen Methode der kleinsten Quadrate ein Polynom dritten Grades an gepaarte numerische Beobachtungen an.

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Geben Sie gleich lange Arrays x und y ein; ausgegeben werden die vier Koeffizienten für das konstante, lineare, quadratische und kubische Glied in dieser Reihenfolge. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keinen Netzwerkzugriff und verarbeitet sowohl exakt kubische Daten als auch verrauschte Messwerte. Mindestens vier Wertepaare und vier unterschiedliche x-Werte sind nötig, damit das Modell dritten Grades eindeutig bestimmt werden kann.

So funktioniert die kubische Kleinste-Quadrate-Regression

Ein kubisches Modell hat die Form y = a0 + a1x + a2x² + a3x³. Für jeden eingegebenen x-Wert bildet der Rechner vier Basiswerte: eins, x, x zum Quadrat und x zum Kubus. Die Methode der kleinsten Quadrate wählt jene Koeffizienten, welche die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen den beobachteten y-Werten und den Vorhersagen des Polynoms minimieren. Bei genau vier geeigneten Punkten kann eine kubische Kurve sämtliche Beobachtungen interpolieren. Bei mehr als vier Punkten gleicht dieselbe Methode die Residuen aus und ermittelt die nach dem Fehlerquadratkriterium eindeutig beste Anpassung. Intern wird x zentriert und skaliert, bevor das kleine lineare Gleichungssystem gelöst wird. Dadurch reagiert die Arithmetik weniger empfindlich auf große x-Beträge oder auf Werte, die weit von null entfernt liegen. Anschließend werden die Koeffizienten in die ursprüngliche x-Skala zurückgerechnet, sodass Sie sie direkt mit Ihren Eingabedaten verwenden können. Es handelt sich um eine gewöhnliche ungewichtete Regression: Jedes Paar zählt gleich viel; zufällige Initialisierung oder iteratives Modelltraining finden nicht statt.

Die beiden Eingabe-Arrays richtig vorbereiten

Geben Sie x als Array der unabhängigen Variablen und y als Array der abhängigen Variablen an. Die Zuordnung erfolgt nach Position: Das erste x gehört zum ersten y, das zweite x zum zweiten y und so weiter. Beide Arrays dürfen ausschließlich endliche JSON-Zahlen enthalten und müssen exakt gleich lang sein. Ein kubisches Modell besitzt vier unbekannte Koeffizienten. Weniger als vier Paare können das gewünschte Modell daher nicht bestimmen und führen zu einem Fehler wegen ungültiger Eingabe. Außerdem muss das x-Array mindestens vier verschiedene Werte enthalten. Wiederholte Messungen an demselben x sind zulässig, sofern insgesamt mindestens vier unterschiedliche Positionen vorliegen; vier Zeilen an nur drei Positionen liefern jedoch nicht genügend unabhängige Informationen für ein eindeutiges kubisches Polynom. Die Antwort enthält das Array coefficients in der Reihenfolge [Konstante, linear, quadratisch, kubisch]. Somit steht [a0, a1, a2, a3] für y = a0 + a1x + a2x² + a3x³. Beachten Sie diese Reihenfolge beim Übertragen in eine Tabellenkalkulation, Diagrammbibliothek oder andere Software, denn manche Mathematikpakete nennen den Koeffizienten der höchsten Potenz zuerst.

Ergebnis und Grenzen sinnvoll einordnen

Der kubische Koeffizient steuert die Krümmung dritten Grades, der quadratische die Biegung zweiten Grades, der lineare den Trend ersten Grades, und die Konstante ist der angepasste Wert bei x = 0. Ihre Größen hängen von Einheit und Skalierung von x ab. Vergleichen Sie daher keine Koeffizienten unterschiedlich skalierter Daten, ohne zuvor die Einheiten umzurechnen. Eine enge Anpassung beweist weder einen tatsächlich kubischen Prozess noch einen Kausalzusammenhang. Terme hohen Grades können insbesondere bei wenigen Beobachtungen dem Rauschen folgen; zudem kann eine Extrapolation außerhalb des beobachteten x-Bereichs schnell in eine unplausible Richtung wachsen. Wenn die Modellgüte wichtig ist, sollten Sie in Ihrem Analyseablauf zusätzlich ein Diagramm und die Residuen prüfen. Diese Fähigkeit liefert bewusst nur die angepassten Koeffizienten, keine Inferenzstatistik, Konfidenzintervalle, Gewichtungen oder Prognosen. Sie eignet sich für bekannte kubische Zusammenhänge, Kurvennäherungen, Laborkalibrierung und reproduzierbare Softwaretests. Die Berechnung im Browser ist gratis; ein automatisierter API-Aufruf kostet $0.002 je erfolgreich verarbeitetem Element. Ungültige Arrays werden vor der Anpassung zurückgewiesen.

Anwendungsfälle

Eine gekrümmte Kalibrierung anpassen

Wandeln Sie gepaarte Messgeräteanzeigen und Referenzwerte in eine kubische Kalibriergleichung für nachfolgende Berechnungen um.

Einen glatten beobachteten Verlauf annähern

Fassen Sie eine nichtlineare Reihe mit einem kompakten Polynom zusammen, wenn Gerade oder Parabel ihre Form nicht ausreichend erfassen.

Deterministische Testfälle erstellen

Erzeugen Sie Koeffizienten aus bekannten gepaarten Arrays und nutzen Sie diese als stabile Prüfwerte für numerische Software und Lehraufgaben.

Häufige Fragen

In welcher Reihenfolge werden die Koeffizienten ausgegeben?

Die Reihenfolge lautet [Konstante, linear, quadratisch, kubisch], also a0, a1, a2 und a3 in y = a0 + a1x + a2x² + a3x³.

Warum sind mindestens vier Punkte erforderlich?

Ein Polynom dritten Grades hat vier Koeffizienten. Weniger als vier gepaarte Beobachtungen können in diesem Vertrag nicht alle vier eindeutig bestimmen.

Darf x wiederholte Werte enthalten?

Ja, doch das Array muss mindestens vier unterschiedliche x-Werte enthalten. Andernfalls besitzt die kubische Entwurfsmatrix keinen vollen Rang.

Verläuft das Polynom durch jeden Punkt?

Nicht unbedingt. Die kleinsten Quadrate minimieren den gesamten quadrierten Residualfehler. Sie interpolieren passende Daten exakt, gleichen bei Rauschen oder Überbestimmung jedoch die Fehler aus.

Was kostet die Berechnung?

Im Browser läuft sie gratis. Jeder erfolgreiche API-Aufruf kostet $0.002; ungültige Eingaben werden abgelehnt, ohne eine Anpassung auszugeben.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"x":[0,1,2,3,4],"y":[1,3,9,25,57]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "x": [
      0,
      1,
      2,
      3,
      4
    ],
    "y": [
      1,
      3,
      9,
      25,
      57
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "x": [
        0,
        1,
        2,
        3,
        4
    ],
    "y": [
        1,
        3,
        9,
        25,
        57
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"x":[0,1,2,3,4],"y":[1,3,9,25,57]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"x":[0,1,2,3,4],"y":[1,3,9,25,57]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/cubic-regression", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "x": [
    0,
    1,
    2,
    3,
    4
  ],
  "y": [
    1,
    3,
    9,
    25,
    57
  ]
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.cubic_regression",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

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