Kofaktormatrix-Rechner

Dieser Rechner führt den vollständigen Ablauf aus: Er entfernt nacheinander jede Zeile und Spalte, berechnet die Determinante der verbleibenden Matrix und wendet das abwechselnde positive und negative Vorzeichenmuster an. Die Antwort enthält sowohl die vorzeichenlose Minorenmatrix als auch die fertige Kofaktormatrix. Damit können Sie Rechnungen von Hand prüfen, eine Adjunkte vorbereiten oder die Herkunft jedes Ergebnisses genau nachvollziehen.

Von einem Matrixeintrag zum Kofaktor

Jeder Kofaktor gehört zu einer bestimmten Zeile und Spalte der ursprünglichen quadratischen Matrix. Um den Eintrag in Zeile i und Spalte j zu berechnen, entfernen Sie diese vollständige Zeile und Spalte. Die Determinante der verbleibenden kleineren Matrix ist der zugehörige Minor. Der Rechner wiederholt diesen Vorgang an jeder Position, sodass eine Drei-mal-drei-Eingabe neun Minoren und neun Kofaktoren ergibt. Dies ist aussagekräftiger als nur eine Determinante, weil Sie jeden Zwischenwert einzeln prüfen können. Geben Sie die Matrix als verschachteltes Array mit einem inneren Array je Zeile ein. Jede Zeile muss so viele Werte enthalten, wie Zeilen vorhanden sind, und alle Werte müssen endliche reelle Zahlen sein. Dezimalwerte und numerische Zeichenketten werden akzeptiert. Die Ausgangsmatrix darf singulär sein: Kofaktoren sind auch dann definiert, wenn ihre Determinante null ist. Auch eine Eins-mal-eins-Matrix ist zulässig; ihr einziger Kofaktor ist eins, weil nach dem Entfernen ihrer Zeile und Spalte die leere Matrix übrig bleibt, deren Determinante vereinbarungsgemäß eins ist.

Wenden Sie das wechselnde Schachbrettmuster an

Ein Minor wird erst durch Multiplikation mit dem von seiner Position bestimmten Vorzeichen zum Kofaktor. Beginnend oben links wechseln die Vorzeichen über jede Zeile und Spalte: positiv, negativ, positiv in der ersten Zeile; negativ, positiv, negativ in der zweiten; und so weiter. Symbolisch ist der Kofaktor C an Position i,j gleich minus eins hoch i plus j, multipliziert mit dem Minor M an dieser Position. Der Rechner gibt `minors_matrix` und `cofactor_matrix` aus, damit Sie die Determinantenrechnung von den Vorzeichenwechseln unterscheiden können. Diese Trennung hilft besonders bei der Fehlersuche: Ist der Betrag falsch, prüfen Sie die kleinere Determinante; ist nur das Vorzeichen falsch, prüfen Sie das Schachbrettmuster. Zeilen und Spalten bleiben in ihrer ursprünglichen Reihenfolge, und es erfolgt keine Transposition. Die Ausgabe ist somit die verlangte vorzeichenbehaftete Kofaktormatrix und nicht die Adjunkte. Um die Adjunkte für eine Inversenformel zu erhalten, transponieren Sie anschließend die Kofaktormatrix.

Lesen und prüfen Sie das Ergebnis

Die Antwort nennt die Dimension in `size` und liefert danach übereinstimmende quadratische Arrays für Minoren und Kofaktoren. Vergleichen Sie die Einträge an den positiven Schachbrettpositionen einschließlich der oberen linken Ecke: Ihre Vorzeichen bleiben unverändert, während die wechselnden Positionen negiert sein müssen. Als weitere Kontrolle können Sie die ursprüngliche Determinante nach einer beliebigen Zeile entwickeln: Multiplizieren Sie jeden ursprünglichen Eintrag dieser Zeile mit dem Kofaktor an derselben Position und addieren Sie die Produkte. Eine andere Zeile muss dieselbe Determinante ergeben. Kofaktormatrizen führen außerdem direkt zur klassischen Inversenmethode. Transponieren Sie die Kofaktormatrix zur Adjunkten und teilen Sie jeden Eintrag der Adjunkten durch die ursprüngliche Determinante, sofern diese nicht null ist. Die Implementierung berechnet die Minorendeterminanten mit pivotisierter Elimination. Dadurch vermeidet sie die stark wachsende Rekursion einer wörtlichen Laplace-Entwicklung und bewahrt dennoch die mathematische Definition. Die Zahlen werden auf eine stabile Genauigkeit normalisiert, damit winzige Gleitkommareste und negative Nullen klare Ergebnisse nicht unnötig verfälschen.