Charakteristisches Polynom einer 2x2-Matrix berechnen

Er berechnet Spur und Determinante und verwendet die Identität lambda zum Quadrat minus Spur mal lambda plus Determinante. Das deterministische Ergebnis eignet sich zur Kontrolle von Aufgaben, für Eigenwertverfahren und für Programme, die einen kompakten Koeffizientenvektor benötigen.

So entsteht das charakteristische Polynom

Bei einer Matrix mit der ersten Zeile a, b und der zweiten Zeile c, d entsteht das charakteristische Polynom aus der Determinante von lambda mal Einheitsmatrix minus Ausgangsmatrix. Die Entwicklung dieser Zwei-mal-zwei-Determinante ergibt (lambda minus a)(lambda minus d) minus bc. Nach dem Zusammenfassen gleicher Potenzen erhält man lambda zum Quadrat minus (a plus d) lambda plus (ad minus bc). Die Summe a plus d ist die Spur, ad minus bc die Determinante. Der Rechner gibt beide Invarianten und den Vektor [1, negative Spur, Determinante] vom quadratischen bis zum konstanten Term aus. Diese Reihenfolge entspricht der üblichen Darstellung in Polynomwerkzeugen und numerischen Bibliotheken. Der führende Koeffizient ist stets eins, weil das charakteristische Polynom normiert ist. Zu seiner Bestimmung müssen keine Eigenwerte angenähert werden; die Rechnung gilt unabhängig davon, ob die späteren Nullstellen verschieden, mehrfach, reell oder komplex sind. Die angezeigte Formel verwendet dieselben berechneten Werte, damit Sie die lesbare Darstellung unmittelbar mit den maschinenlesbaren Koeffizienten vergleichen können.

Matrix eingeben und Ergebnis auswerten

Geben Sie genau zwei Zeilen mit jeweils genau zwei endlichen Zahlen an. Die Matrix [[4, 1], [2, 3]] besitzt beispielsweise die Spur 7 und die Determinante 10; ihr Koeffizientenvektor lautet daher [1, -7, 10]. Das steht für lambda zum Quadrat minus 7 lambda plus 10. Der erste Koeffizient gehört zu lambda zum Quadrat, der zweite zu lambda und der dritte ist der konstante Term. Die ausdrückliche Angabe dieser Konvention verhindert einen häufigen Integrationsfehler, bei dem Koeffizienten versehentlich in aufsteigender Reihenfolge gelesen werden. Null, negative Werte und Dezimalzahlen sind als gewöhnliche JavaScript-Zahlen zulässig. Textbezeichnungen, Zahlen als Zeichenketten, fehlende Zeilen, zusätzliche Spalten, unendliche Werte und NaN werden abgewiesen und nicht stillschweigend umgewandelt. Eine abgelehnte Anfrage liefert einen Fehler für ungültige Eingaben und erfindet keinen Ersatzwert. Erfolgreiche API-Anfragen kosten $0.002 pro Element; im Browser läuft dieselbe deterministische Funktion. Da die Aufgabe eine feste Größe hat, steigt der Aufwand nicht mit größeren Datensätzen und hängt von keinem entfernten Dienst ab.

Koeffizienten in Eigenwert- und Algebraabläufen nutzen

Das charakteristische Polynom verbindet eine Matrix häufig mit ihren Eigenwerten: Setzt man das ausgegebene Polynom gleich null, erhält man die charakteristische Gleichung; deren quadratische Lösung liefert die Eigenwerte. Diese Fähigkeit endet bewusst bei den Koeffizienten. Dadurch bleibt die Ausgabe gezielt für Anwender, die bereits einen Nullstellenlöser, ein Computeralgebrasystem oder eine eigene Lehrabfolge einsetzen. Spur und Determinante ermöglichen zusätzliche Plausibilitätsprüfungen. Die Summe beider Eigenwerte unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit muss der Spur entsprechen, ihr Produkt der Determinante. Eine Determinante von null bedeutet einen konstanten Koeffizienten von null; damit ist null ein Eigenwert. Bei einer Spur von null entfällt der lineare Term. Für Dreiecksmatrizen lässt sich das Polynom außerdem mit den beiden Diagonaleinträgen faktorisieren und sofort kontrollieren. Speichern Sie bei automatisierten Abläufen den Koeffizientenvektor als maßgebliches Ergebnis und behandeln Sie die formatierte Formel als lesbare Ergänzung. Vergleichen Sie bei Übungen zunächst Spur und Determinante mit getrennten Handrechnungen. Dadurch erkennen Sie Vorzeichenfehler, insbesondere das oft übersehene Minuszeichen am lambda-Koeffizienten, ohne angenäherte Nullstellen zur Fehlersuche zu benötigen.