Todas las raíces primitivas módulo n

Primero determina si el módulo pertenece a una familia que admite raíces primitivas; después calcula el totiente de Euler, encuentra un generador y obtiene los demás. La respuesta incluye el módulo, el totiente, la cantidad y la lista íntegra de raíces. Los valores inferiores a dos y los módulos sin raíces primitivas producen un error claro. La misma aritmética determinista permite comprobaciones rápidas y automatización reproducible mediante API por $0.002 en cada solicitud correcta.

Qué significa la lista completa de raíces primitivas

Una raíz primitiva módulo n es un residuo cuyas potencias sucesivas generan cada clase invertible módulo n. La palabra decisiva es «cada»: un número puede ser coprimo con n y recorrer solo un subgrupo propio, por lo que ser una unidad es necesario, pero no suficiente. La capacidad devuelve todos los representantes positivos entre 1 y n menos 1 cuyo orden multiplicativo es exactamente phi(n). Para el módulo 14, por ejemplo, el grupo de unidades tiene seis elementos y el conjunto completo de generadores contiene dos residuos. La respuesta indica n, el totiente de Euler phi, la cantidad de raíces primitivas y el arreglo primitive_roots ordenado numéricamente. La cantidad permite comprobar el resultado: si existen raíces primitivas, hay phi(phi(n)). El módulo especial 2 tiene correctamente la única raíz 1. Si ningún elemento genera todo el grupo, se rechaza el módulo; una lista vacía ocultaría que el grupo no es cíclico.

Cómo se comprueban la existencia y cada generador

No todos los módulos admiten raíces primitivas. El teorema de clasificación establece que el grupo multiplicativo módulo n es cíclico exactamente cuando n es 2, 4, una potencia de primo impar o el doble de una potencia de primo impar. La calculadora factoriza n y verifica esa condición antes de buscar. Para un módulo admisible calcula phi(n), factoriza el orden del grupo y prueba unidades candidatas mediante exponenciación modular. Un candidato g tiene orden completo phi(n) si, para cada divisor primo distinto q de phi(n), g elevado a phi(n) dividido por q no es congruente con 1 módulo n. Conocido un g, todas las raíces son sus potencias g elevado a k donde k es coprimo con phi(n). La implementación enumera esos exponentes, calcula residuos exactos y ordena el resultado. No usa azar, tablas externas, red ni hora actual; una misma entrada siempre produce el mismo contenido numérico.

Cómo utilizar el resultado en matemáticas y software

Las listas completas sirven cuando un problema pide más que la menor raíz primitiva. El alumnado puede comparar los residuos devueltos con tablas de potencias hechas a mano y comprobar por qué el número de generadores es phi(phi(n)). El profesorado puede preparar soluciones que acepten todas las respuestas válidas. Quienes desarrollan software pueden crear datos de prueba para rutinas de orden multiplicativo, validar código de enumeración o seleccionar un generador según una regla posterior. Los errores también enseñan: los módulos 8 y 15 muestran que muchos compuestos conocidos tienen grupos de unidades no cíclicos aunque contengan numerosos residuos invertibles. La entrada se limita a 10,000 porque la salida es exhaustiva y puede contener muchas raíces; así el tiempo, la representación en el navegador y el tamaño de la API siguen siendo previsibles. Introduzca n como entero o cadena decimal simple. Cada solicitud correcta cuesta $0.002; los datos no admitidos o mal formados se identifican claramente.