حاسبة إكمال المربع

وتُرجع المُعاملين اللذين يحددان هذا التحويل، h وk، مع رأس القطع المكافئ. إعادة الكتابة بأكملها عملية حسابية واحدة حتمية: h = −b/(2a) وk = c − b²/(4a). لا يوجد حلّ ولا تخمين ولا تقريب يتجاوز دقة التقريب التي تطلبها، فالمعاملات نفسها تنتج دائمًا صيغة الرأس نفسها. استخدمها لقراءة رأس القطع المكافئ مباشرةً، أو لتهيئة معادلة للحلّ، أو لتوحيد الحدود التربيعية في مسار معالجة أكبر — استدعاء واحد بدلًا من إجراء العمليات الجبرية يدويًا.

ما معنى إكمال المربع فعليًا

المعادلة التربيعية المكتوبة على الصورة ax² + bx + c لا تُظهر شكلها إلا بشكل غير مباشر. أما التعبير نفسه المعاد كتابته على الصورة a(x − h)² + k فيخبرك بالأمرين اللذين يريدهما معظم الناس فعلًا: أين يقع رأس القطع المكافئ، عند النقطة (h, k)، وهل ينفتح إلى الأعلى أم إلى الأسفل، من إشارة a. والأسلوب الكامن وراء إعادة الكتابة — إكمال المربع — يأخذ حدّي x² وx ويضيف ويطرح بالضبط الثابت اللازم لتحويلهما إلى ثلاثي حدود مربع كامل، يُختزل بعدها إلى الحدّ المربع. لا شيء يتغير في التعبير: عوّض بأي قيمة لـ x في أيٍّ من الصورتين فتحصل على العدد نفسه. ما يتغير هو ما يمكنك قراءته بنظرة واحدة. يُنقل المعامل a كما هو دون تعديل، فالمعامل الرئيس الذي ترسله هو نفسه الذي يضرب الحد المربع في الإجابة. تُجري نقطة النهاية إعادة الترتيب رمزيًا على المعاملات العددية الثلاثة، مما يعني أنها تعمل مع القيم الصحيحة والعشرية والسالبة على حدٍّ سواء، وترفض الحالة المنحلّة الوحيدة — أن يساوي a صفرًا — حيث يكون التعبير في الحقيقة خطًّا مستقيمًا وتفقد صيغة إكمال المربع معناها.

كيف يُحسب h وk

يأتي المُعاملان من متطابقتين مغلقتي الصيغة. الإزاحة الأفقية هي h = −b/(2a)، وهي بالضبط الإحداثي السيني لمحور تماثل القطع المكافئ. والإزاحة الرأسية هي k = c − b²/(4a)، وهي القيمة التي تأخذها المعادلة التربيعية عند ذلك المحور — أو بمعنى آخر، ما تحصل عليه بتعويض x = h في التعبير الأصلي. ولأنها صيغ دقيقة وليست إجراءً تكراريًا، فإن النتيجة حتمية: شغّلها مرتين على المعاملات نفسها فتتلقى مخرجات متطابقة تمامًا، وهذا ما يجعل الاستجابة آمنة للتخزين المؤقت والمقارنة والتضمين في الاختبارات. التقريب هو الموضع الوحيد الذي يدخله الاختيار. افتراضيًا يُقرَّب h وk إلى عشر خانات عشرية لتكون المخرجات مستقرة عبر الأجهزة واللغات؛ ويمكنك طلب ما بين صفر وخمس عشرة خانة عبر حقل الدقة الاختياري. القيم التي هي أعداد صحيحة دقيقة تبقى صحيحة مهما كانت الدقة، فالتعبير 2x² − 8x + 5 يُرجع h = 2 وk = −3، وليس 2.0000000000. يمكن إرسال المعاملات أعدادًا أو سلاسل نصية رقمية، ويجب أن يكون كل معامل عددًا منتهيًا — فالقيمتان Infinity وNaN مرفوضتان برسالة خطأ واضحة بدلًا من إنتاج نتائج بلا معنى بصمت.

أين يقع موضعها في التطبيق العملي

نادرًا ما يكون إكمال المربع الهدف النهائي؛ فهو الخطوة التي تفتح الخطوة التالية. إنه الطريق القياسي إلى القانون العام للمعادلات التربيعية، وأسرع وسيلة لإيجاد الرأس دون حساب التفاضل، والخطوة التي تحوّل معادلة الدائرة أو القطع الناقص إلى صيغة المركز ونصف القطر. في منتج تعليمي يتيح لك عرض صيغة الرأس إلى جانب الصيغة القياسية ليرى الطلاب العلاقة بينهما. وفي مسار معالجة رسوميات أو فيزياء يحوّل معادلة تربيعية مُطابَقة إلى موضع القمة وقيمتها مباشرةً: طابق ax² + bx + c على عيناتك، وأرسل المعاملات الثلاثة، واقرأ القيمة العظمى أو الصغرى من k. وفي خدمة تحسين يوحّد حدود الجزاء التربيعية قبل تسليمها إلى خوارزمية الحلّ. تعمل هذه القدرة كحساب خالص على خوادمنا الطرفية دون تخزين أي شيء، والشيفرة نفسها تعمل مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة — ألصق المعاملات الثلاثة، وشاهد صيغة الرأس، ولا تدفع إلا عند ربطها بمسار آلي بسعر $0.002 لكل طلب.