حاسبة النقطة المضمونة بمبرهنة رول

ما الذي تضمنه مبرهنة رول

تنطبق مبرهنة رول عندما تكون الدالة متصلة على فترة مغلقة، وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة المقابلة، ومتساوية القيمة عند الطرفين. يحقق كل كثير حدود شرطي الاتصال وقابلية الاشتقاق تلقائيًا، ولذلك يكون الفحص الحاسم هو تحقق f(a)=f(b). عند تحقق هذه المساواة يوجد عدد c واحد على الأقل يقع قطعًا بين a وb ويحقق f'(c)=0. هندسيًا، يعني ذلك أن للمنحنى مماسًا أفقيًا في موضع ما بين طرفين لهما الارتفاع نفسه. تقيم الحاسبة قيمتي الطرفين قبل حل معادلة المشتقة، ولا تفترض انطباق المبرهنة لمجرد إدخال فترة. إذا تجاوز الفرق سماحية عددية صغيرة تراعي مقياس القيم، تعيد الحاسبة خطأ في الإدخال بدل عرض نقطة حرجة على أنها مضمونة بمبرهنة رول. وهذا التمييز مهم، فقد يملك كثير الحدود نقاطًا حرجة مع اختلاف قيمتي الطرفين، لكن المبرهنة لا تضمن تلك النقاط على الفترة المدخلة. لذلك تعرض النتيجة قيمة الطرف المشتركة لتوثيق الفرضية التي قامت عليها الخلاصة.

كيفية إدخال كثير الحدود وقراءة النتيجة

أدخلوا كثير الحدود باستعمال x متغيرًا، ومعاملات عشرية، والرمز ^ للأسس، مثل x^3 - 3x أو 2x^4 - 8x^2 + 6. علامة الضرب اختيارية، ولذلك يحمل 4*x و4x المعنى نفسه. يجب أن تكون الأسس أعدادًا صحيحة غير سالبة، ويقبل المحلل درجة لا تتجاوز 12. بعد ذلك أدخلوا interval_start وinterval_end على أن يكون الطرف الأيسر أصغر من الطرف الأيمن. يعرض الحقل point أبعد قيمة صحيحة لـ c إلى اليسار، فيقدم جوابًا منفردًا ثابتًا عندما يطلب التمرين «النقطة». أما المصفوفة points فتضم جميع الجذور المختلفة للمشتقة داخل الفترة، لأن مبرهنة رول تضمن الوجود ولا تضمن الوحدانية. ويعرض كل عنصر أيضًا قيمة المشتقة عند النقطة بعد تقريبها. قد يظهر باق صغير جدًا عند تقريب جذر غير نسبي إلى الدقة المطلوبة، ولا يعني ذلك أن الحل غير صحيح. تسرد derivative_coefficients المعاملات بترتيب القوى التنازلي، حتى تتمكنوا من مراجعة الاشتقاق بصورة مستقلة أو إعادة بناء كثير حدود المشتقة.

كيف تعثر العملية على نقاط داخلية موثوقة

تجمع الخوارزمية أولًا الحدود ذات القوى المتساوية، ثم تقيم كثير الحدود بطريقة هورنر. بعد ذلك تبني المشتقة مباشرة من المعاملات وتعزل جذورها الحقيقية بصورة تكرارية. تقسم جذور كل مشتقة الفترة إلى مقاطع يكون فيها كثير الحدود الجاري حله رتيبًا. تُدقَّق المقاطع التي يتغير فيها الإشارة بطريقة التنصيف المحدودة، كما تُفحص الحدود الساكنة على حدة حتى لا تضيع الجذور المتكررة التي يلامس عندها المنحنى الصفر من دون أن يقطعه. لا تُحتفظ إلا بالجذور الواقعة قطعًا داخل الفترة المفتوحة؛ فإذا انعدمت المشتقة عند أحد الطرفين فلا يصلح ذلك الطرف قيمةً لـ c. لكل الحلقات حدود ثابتة، كما أن درجة كثير الحدود وطول الإدخال مقيدان، ولا تستخدم العملية شبكة أو عشوائية أو وقتًا. عند كتابة حل دراسي، استخدموا النقطة الناتجة قيمة عددية وأظهروا الخطوات الرمزية: احسبوا f(a) وf(b)، واذكروا اتصال كثير الحدود وقابليته للاشتقاق، ثم أوجدوا f' وحلوا f'(c)=0 مع a<c<b. هكذا ترتبط النتيجة بفرضيات المبرهنة وخلاصتها بوضوح.