Rechner für balancierte Ternärzahlen

Er decodiert die Schreibweise auch wieder als Ganzzahl. Neben der kanonischen Darstellung zeigt das Ergebnis die vorzeichenbehaftete Zerlegung in Dreierpotenzen, die gesamte Tritzahl, die Anzahl der von null verschiedenen Trits und die unmittelbare Negation. So können Sie das Zahlensystem erlernen, Algorithmen kontrollieren und nachvollziehen, warum vorzeichenbehaftete Ziffern manche Rechenverfahren und Hardwareentwürfe vereinfachen.

Eine balancierte Ternärdarstellung lesen

Das balancierte Ternärsystem ist eine Stellenwertschreibweise mit Dreierpotenzen. Jede Stelle trägt jedoch -1, 0 oder +1 mal ihren Stellenwert bei. Dieser Rechner schreibt die Trits als -, 0 und +. Von rechts nach links lauten die Stellenwerte 3^0, 3^1, 3^2 und so weiter. Die ausgegebene Zerlegung macht jeden Beitrag sichtbar. Ein positives Trit an der Stelle 3^3 liefert beispielsweise +27, ein negatives Trit an der Stelle 3^2 dagegen -9. Addieren Sie alle von null verschiedenen Beiträge, um die Dezimalzahl zu erhalten. Anders als eine gewöhnliche negative Zahl zur Basis drei benötigt eine negative balancierte Ternärzahl kein separates Vorzeichen: Die negativen Beiträge sind bereits in ihren Trits codiert. Der Konverter gibt genau eine kanonische Form aus, entfernt überflüssige führende Nulltrits und stellt null als einzelnes 0 dar. Geben Sie beim Decodieren ausschließlich die kompakte Folge aus +, 0 und - ein. Das Dezimalergebnis ist stets eine exakt darstellbare sichere Ganzzahl und unterliegt keiner Gleitkommarundung.

So werden Dezimalzahlen umgewandelt

Beim Codieren wird wiederholt durch drei geteilt und ein balancierter Rest verwendet. Ein gewöhnlicher Rest kann null, eins oder zwei sein. Das balancierte Ternärsystem ersetzt den Rest zwei jedoch durch -1 und überträgt +1 auf die nächste Stelle, denn 2 entspricht -1 plus 3. Der Algorithmus schreibt folglich 0 für Rest null, + für Rest eins und nach dem Übertrag - für Rest zwei. Die Regel funktioniert für positive wie negative Ganzzahlen und führt jede sichere Ganzzahl schließlich auf null zurück. Das Decodieren kehrt den Ablauf von links nach rechts um: Der bisherige Wert wird mit drei multipliziert, anschließend wird der Wert des aktuellen Trits addiert. Intern erfolgen beide Operationen mit exakter Ganzzahlarithmetik. Das Ergebnis nennt außerdem die Gesamtzahl der Trits und die Anzahl der nicht leeren Beiträge. Diese zweite Kennzahl hilft bei der Untersuchung dünn besetzter Darstellungen mit Vorzeichenziffern. Werte außerhalb des sicheren Bereichs sowie Brüche, Exponenten, interne Leerzeichen und unbekannte Zeichen werden mit einem eindeutigen Eingabefehler abgewiesen.

Warum Vorzeichentrits das Rechnen vereinfachen können

Der offensichtlichste Vorteil ist die Negation: Tauschen Sie jedes + gegen - und jedes - gegen + aus; null bleibt unverändert. Weder ein eigenes Vorzeichenbit noch eine Komplementbildung über eine feste Wortbreite ist nötig. Deshalb liefert der Rechner die negierte Darstellung direkt mit. Vorzeichenziffern behandeln positive und negative Größen außerdem symmetrisch. Das erleichtert Erklärungen zur Subtraktion und Algorithmen, die eine nahe Dreierpotenz wählen und den Unterschied mit einem negativen Trit ausgleichen. Bei einer Addition können weiterhin Überträge entstehen, doch balancierte Ziffern bieten symmetrische lokale Regeln und können in bestimmten Rechenwerken lange einseitige Übertragsketten verkürzen. Die Anzahl der von null verschiedenen Trits veranschaulicht einen weiteren Nutzen: Eine Multiplikation mit einer Konstanten lässt sich als Addition und Subtraktion von Dreierpotenzen ausdrücken, wobei Nullstellen entfallen. Das balancierte Ternärsystem ist kein allgemeiner Ersatz für Binärzahlen und verspricht nicht auf jeder Maschine einen Geschwindigkeitsgewinn. Der Rechner eignet sich für Unterricht, Experimente mit Vorzeichenziffern, Programmieraufgaben und die genaue Kontrolle handschriftlicher Rechnungen.