Equazione quartica dalle radici

Lei può inserire valori distinti o ripetuti: lo strumento espande i fattori corrispondenti e restituisce la forma standard, i coefficienti in ordine decrescente di potenza e un’equazione leggibile. È utile quando un esercizio fornisce gli zeri ma richiede il polinomio, quando Lei desidera verificare una fattorizzazione o quando un software richiede un vettore di coefficienti anziché la notazione con le radici. Il calcolo è deterministico e non utilizza servizi algebrici esterni.

Converta quattro radici in fattori lineari

Un numero r è radice di un polinomio quando, sostituendo r a x, il polinomio vale zero. Il teorema del resto collega questa proprietà a un fattore lineare: alla radice r corrisponde (x - r). Il calcolatore applica la regola ai quattro valori e forma (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4). Le radici negative producono naturalmente un’addizione nel fattore, perché sottrarre un valore negativo equivale ad aggiungerlo. Una radice nulla fornisce il fattore x. I valori ripetuti vengono mantenuti: 2, 2, -1 e 0 generano quindi un polinomio in cui 2 ha molteplicità due. Il risultato è monico, cioè il coefficiente direttivo è 1. Quattro fattori lineari producono sempre un termine x^4, anche se alcuni coefficienti inferiori si annullano. Inserisca le radici come veri numeri JSON, non come espressioni o costanti simboliche. Sono richiesti esattamente quattro numeri reali finiti, così l’operazione rimane precisa e la convalida inequivocabile.

Come vengono calcolati sviluppo e coefficienti

Lo strumento espande i fattori mediante una convoluzione deterministica dei coefficienti. Inizia dal polinomio costante 1. Per ogni radice r moltiplica l’elenco corrente per x - r: ciascun coefficiente contribuisce alla posizione della potenza superiore e, moltiplicato per -r, alla posizione successiva. Dopo quattro passaggi, l’elenco è [a, b, c, d, e] per ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. Poiché il polinomio costruito è monico, a vale sempre 1. Gli altri valori coincidono con le somme simmetriche elementari: b è l’opposto della somma delle radici, c è la somma dei prodotti a coppie, d è l’opposto della somma dei prodotti tripli ed e è il prodotto delle quattro radici. La risposta comprende sia il vettore ordinato sia i campi nominati della forma standard. Include inoltre la notazione fattorizzata, un’espressione formattata e un’equazione uguale a zero, così lo stesso risultato è adatto a codice, esercizi e controlli visivi.

Legga il risultato e verifichi la quartica

Usi il vettore dei coefficienti quando passa il polinomio a un software numerico: l’ordine è sempre x^4, x^3, x^2, x e infine il termine noto. Usi standard_form se preferisce campi nominati oppure copi l’equazione per una soluzione scritta. Per una verifica rapida, sostituisca ogni radice originale nell’espressione espansa; ogni sostituzione deve dare zero, salvo piccoli effetti di arrotondamento con input decimali in virgola mobile binaria. Può anche controllare la struttura. Il termine noto è il prodotto delle quattro radici, mentre il coefficiente di x^3 è l’opposto della loro somma. Se una radice è zero, anche il termine noto deve esserlo. Coppie di radici opposte possono annullare termini di potenza dispari. L’endpoint non risolve l’equazione, poiché le radici sono già note; esegue l’operazione inversa, costruendo ed espandendo l’unica quartica monica associata a esse. Ogni richiesta costa $0.002 per elemento e un gruppo di quattro radici conta come un elemento.