Calcolatore di radici complesse quadratiche esatte

Invece di arrotondare il risultato, conserva la parte reale come frazione ridotta e il modulo immaginario come radice quadrata o frazione semplificata. Le due soluzioni vengono restituite insieme come coppia complessa coniugata esatta in forma rettangolare, utile per esercizi di algebra, soluzioni ufficiali, test simbolici e procedure nelle quali un’approssimazione nasconderebbe la struttura del risultato.

Riconosca quando una quadratica ha radici complesse

Parta dall’equazione standard ax² + bx + c = 0, dove a non può essere zero. Il discriminante è b² − 4ac. Un valore positivo dà due radici reali distinte, mentre zero dà una radice reale doppia. Questo calcolatore tratta il caso restante: discriminante strettamente negativo. La sua radice quadrata contiene i, l’unità immaginaria definita da i² = −1, e la formula quadratica diventa una parte reale più o meno una parte immaginaria. Poiché a, b e c sono interi reali, il solo cambio di segno produce due soluzioni coniugate. Per esempio, x² + x + 1 ha discriminante −3 e radici −1/2 + sqrt(3)/2 i e −1/2 − sqrt(3)/2 i. Lo strumento rifiuta discriminanti non negativi, rendendo visibile un presupposto errato, e rifiuta a = 0 perché l’espressione sarebbe lineare anziché quadratica.

Legga il risultato esatto in forma rettangolare

Inserisca i tre coefficienti interi a, b e c nella forma standard. La risposta mostra un’equazione leggibile e il discriminante negativo. Ogni elemento di roots contiene real, imaginary e rectangular. Il campo real è il valore ridotto −b/(2a). Il campo imaginary è il coefficiente con segno di i, ricavato da sqrt(−D)/(2|a|), dopo aver estratto i fattori quadrati dal radicale e cancellato i fattori comuni con il denominatore. Il campo rectangular combina le parti nella notazione u + vi. Quindi 3/2 + sqrt(7)/2 i significa u = 3/2 e v = sqrt(7)/2; la seconda radice mantiene la coordinata reale e nega quella immaginaria. Nessun decimale sostituisce il radicale, così frazioni periodiche e radici irrazionali rimangono esatte. Se il radicale diventa intero, sqrt viene eliminato; se una frazione si riduce a intero, il denominatore viene omesso.

Verifichi la coppia e la usi correttamente

Per un controllo rapido, verifichi la simmetria coniugata: entrambe le radici devono avere parti reali identiche e parti immaginarie opposte. Può anche applicare le formule di Viète. La somma deve essere −b/a, perché i termini immaginari si annullano, mentre il prodotto deve essere c/a. In alternativa, sostituisca una delle espressioni in ax² + bx + c e semplifichi finché le componenti reale e immaginaria si annullano. Gli input sono limitati a interi sicuri con valore assoluto massimo di un milione, preservando l’esattezza del discriminante e della fattorizzazione nel browser e nel Worker API. Lo strumento non accetta decimali, non interpreta un’equazione digitata e non risolve radici reali. Converta prima i coefficienti razionali in interi equivalenti. Il browser usa la stessa funzione pura senza rete; ogni elemento riuscito tramite API costa $0.002, mentre input non validi restituiscono un errore esplicito.